לוגריתם

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

${\displaystyle \ \log _{a}(1)=0}$

${\displaystyle \ \log _{a}(a)=1}$

חוקים אלו יכולים להקל על חישובי כפל, חילוק, חזקה ושורש, באמצעות לוח לוגריתמים או סרגל חישוב.

${\displaystyle \ \log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}(a)+\log _{c}(b)}$

${\displaystyle \ \log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}(a)-\log _{c}(b)}$

${\displaystyle \ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}}$

לכל ${\displaystyle \ r}$ ממשי:

${\displaystyle \ \log _{c}(a^{r})=r\cdot \log _{c}(a)}$

חוקים אלו שימושיים לפתרון משוואות בהן הנעלם הוא "מעריך" של חזקה.

${\displaystyle \ x^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}x}}$

${\displaystyle \ a^{\log _{a}b}=b}$

לכל ${\displaystyle \ r}$ ממשי:

${\displaystyle \ \log _{a}a^{r}=r}$

חוק זה שימושי להמרת לוגריתמים במחשבונים. לרוב המחשבונים יש לחצנים לחישוב לוגריתם טבעי (ln) ולוגריתם בבסיס 10 (${\displaystyle \ \log _{10}}$), אבל לא לבסיס 2 (${\displaystyle \ \log _{2}}$).

כדי לחשב את ${\displaystyle \ \log _{2}100}$, מחשבים:

${\displaystyle \ {\frac {\log _{10}100}{\log _{10}2}}}$ או ${\displaystyle \ {\frac {\ln {100}}{\ln {2}}}}$ שנותן תוצאה זהה.

${\displaystyle \ \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$
${\displaystyle \ \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=-\infty }$

${\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=\infty }$

${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty }$

${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty }$

${\displaystyle \ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)\cdot x^{b}=0}$

${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)/x^{b}=0}$

${\displaystyle \ {d \over dx}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)}}{1 \over x}}$

${\displaystyle \ \int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C}$