對數

對數係一種函數，佢係指數函數嘅反函數。對數係嚟自指數，指數函數嘅基本樣係${\displaystyle f(x)=a^{x}}$，${\displaystyle a}$係一個正實數。咁呢個圖就會穿過${\displaystyle (1,a)}$，同埋x軸就係呢個圖嘅趨近線（asymptote）。因為指數函數係單對單函數，又係全射函數，所以佢就會有逆函數或者叫相反。而指數函數嘅相反就係對數，求出黎嘅方法可以參考下面。

對數有好多唔同嘅作用，其中最常見嘅就有搵出次方，同埋做數學建模去解決現實世界嘅問題。

如果利用簡介所提及嘅方法嚟搵對數，就要根據以下步驟：

1. 將${\displaystyle y=f(x)}$：${\displaystyle y=a^{x}}$
2. 將${\displaystyle x}$同${\displaystyle y}$交換：${\displaystyle x=a^{y}}$
3. 求${\displaystyle y}$：${\displaystyle y=?}$

設 ${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle a>0}$ 同埋 ${\displaystyle a\neq 1}$，對數函數（logarithmic function）${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$符合：

「${\displaystyle y=\log _{a}x\iff x=a^{y}}$」。

呢個函數嘅基數（或叫基底，英文：base）就係 ${\displaystyle a}$。｢${\displaystyle \,\log _{a}x}$｣ 中文一般會讀成「log ${\displaystyle x}$ 底 ${\displaystyle a}$」；英文一般會讀成「log base ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle x}$」。有啲計數機將 ${\displaystyle \log _{a}x}$ 寫做 ${\displaystyle \log(x,a)}$，有啲寫做 ${\displaystyle \log(a,x)}$。

根據以上呢個定義，${\displaystyle y=\log _{a}x}$，${\displaystyle x=a^{y}}$呢兩個表達係完全一樣。

一般會將${\displaystyle x=a^{y}}$叫做指數表示（exponential form）；

另一個樣，${\displaystyle y=\log _{a}x}$叫做對數表示（logarithmic form）。

• ${\displaystyle \log _{5}25=2\implies 5^{2}=25}$
• ${\displaystyle \log _{5}({\frac {1}{25}})=-2\implies 5^{-2}={\frac {1}{25}}}$
• ${\displaystyle 9={\sqrt {81}}=81^{\frac {1}{2}}\implies \log _{81}9={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle 16=4^{2}\implies \log _{4}16=2}$

求一個對數嘅絕對值需要用到代數技巧。

例如求：${\displaystyle \log _{3}81}$

1. 將求嘅數等於${\displaystyle x}$：${\displaystyle x=\log _{3}81}$
2. 利用等價定義轉返佢做指數表示：${\displaystyle 3^{x}=81}$
3. 解方程：${\displaystyle 3^{x}=3^{4}\implies x=4}$
4. 還原答案：${\displaystyle x=4=\log _{3}81}$

例子：${\displaystyle \log _{5}({\frac {1}{5}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\log _{5}({\frac {1}{5}})\\5^{x}&={\frac {1}{5}}\\5^{x}&=5^{-1}\\x&=-1\\x=-1&=\log _{5}({\frac {1}{5}})\end{aligned}}}$

有自然指數就自然有自然對數，佢哋基本大同小異，只不過自然對數個基數係歐拉數${\displaystyle e}$。而一般情況普通對數個基數就係${\displaystyle 10}$，叫做常用對數。

通常用基數係${\displaystyle 10}$嘅情況，本嚟係要寫成${\displaystyle \log _{10}x}$，但係因為成日用嘅關係，多數人都會寫成${\displaystyle \log x}$咁，而唔寫基數就默認係${\displaystyle 10}$。為咗避免誤會（例如高等數學入面嘅 ${\displaystyle \log x}$ 好多時係以 ${\displaystyle e}$ 做底），有時又會寫做${\displaystyle \lg x}$。

如果用歐拉數${\displaystyle e}$做基數，本嚟係要寫成${\displaystyle \log _{e}x}$，因為喺數學上好多時會用到，所以數學家就發明咗個符號寫做${\displaystyle \ln }$，所有基數係${\displaystyle e}$嘅對數，就會寫成${\displaystyle \ln x}$。呢個叫做自然對數。

喺某啲領域，成日會用到 ${\displaystyle 2}$ 做基數，本嚟係要寫成 ${\displaystyle \log _{2}x}$，簡化寫成 ${\displaystyle lb\,x}$。

因為對數係指數嘅逆函數，所以可以利用${\displaystyle y=x}$反射${\displaystyle f(x)=a^{x}}$得出${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$。

如果${\displaystyle a>1}$就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係${\displaystyle f(x)=a^{x}}$，將佢根據${\displaystyle y=x}$，黑線，做一個反射就得出綠色線${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$。

如果${\displaystyle 0<a<1}$就會得出上面呢張圖嘅樣，藍色線就係${\displaystyle f(x)=a^{x}}$，將佢根據${\displaystyle y=x}$，黑線，做一個反射就得出綠色線${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$。

以下呢個表可以比較指數同對數函數嘅相似同唔同之處：

指數函數 ${\displaystyle y=a^{x}}$	對數函數 ${\displaystyle y=\log _{a}x}$
${\displaystyle y}$軸相交點係${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle x}$軸相交點係${\displaystyle (1,0)}$
函數域（Domain）係${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	函數域（Domain）係${\displaystyle (0,\infty )}$
Range係${\displaystyle (0,\infty )}$	Range係${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
趨近線係${\displaystyle x}$軸	趨近線係${\displaystyle y}$軸

對數可以做好多現實中嘅應用，以下舉出幾個出名嘅應用：

分貝（decibel）係量度噪音程度嘅單位。佢係利用對數呢個概念。

分貝值喺數學上定義為：${\displaystyle D=10\log {\bigl (}{\frac {I}{I_{T}}}{\bigr )}}$

式入面嘅 ${\displaystyle D}$ 就係分貝值，單位係 dB。${\displaystyle I}$ 就每平方米嘅聲音強度，單位係瓦特（watt）。${\displaystyle I_{T}}$ 就係人最低可以聽到嘅噪音強度。平均嚟講，一般人最低可以聽到最低噪音係 ${\displaystyle 1\times 10^{-12}\ {\text{W}}\!/{\text{m}}^{2}}$。

黎克特制（Richter scale）係用嚟量度地震強度。

計算呢個強度嘅公式係：${\displaystyle M={\frac {2}{3}}\log({\frac {E}{E_{0}}})}$，

當中 ${\displaystyle M}$ 係強度，${\displaystyle E}$ 係地震震波強度，${\displaystyle E_{0}}$ 係地震所釋出嘅能量。

喺化學入邊，pH值亦即係酸鹼度係用對數嚟定義嘅。

ph值公式：${\displaystyle {\textrm {pH}}=-\log _{10}[{\textrm {H}}^{+}]}$，

當中 ${\displaystyle [{\textrm {H}}^{+}]}$ 係氫離子嘅濃度。^[1]

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