Logaritme

Lei logaritmes son un ensemble de foncions matematicas, descubèrtas au començament dau sègle XVII, que tènon un ròtle fondamentau dins mai d'una branca dei sciéncias modèrnas. Lo logaritme de basa b d'un nombre reau estrictament positiu es la poissança p a la quala fau montar la basa b per obtenir aqueu nombre. Una escala logaritmica permet de representar sus un meteis grafics de nombres aguent d'òrdres de grandor fòrça diferents. Ansin, lei logaritmes son frequents dins lei formulas utilizadas en sciéncia. Totei lei logaritmes transforman :

• un produch en soma : ${\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y\,}$
• un quocient en diferéncia : ${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}x-\log _{b}y\,}$
• una poissança en produch : ${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}x.\,}$

Pasmens, tres logaritmes son considerats coma pus importants :

• lo logaritme neperian, sovent notat ln, qu'es la foncion recipròca de la foncion exponenciala. Ocupa una plaça majora en analisi matematica. Es lo logaritme de basa e.
• lo logaritme decimau qu'es lo logaritme de basa 10. Intra dins fòrça relacions utilizadas dins lei domenis tecnics.
• lo logaritme binari qu'es lo logaritme de basa 2. Es fòrça important en informatica.

Lo logaritme complèx generaliza la nocion de logaritme ai nombre complèxs.

Tre la premiera mitat dau milleni II avC, de nocions pròchas dau logaritme èran conegudas per lei Babilonians. Per exemple, es possible de citar leis algoritmes de multiplicacion d'entiers^[1]. Aqueu metòde permet de multiplicar dos nombres en utilizant solament d'addicions, de sostraccions e una taula de quart de carrat. Foguèt utilizat fins au sègle XX. En Grècia, lei matematicians antics, eiretiers dei sabers mesopotamians, estudièron de nocions pròchas dau logaritme decimau. En particular, dins son tractat intitulat l'Arenaire, Arquimèdes (287-212 avC) utilizèt un sistèma de « miriadas » per comptar lo nombre de grans d'arena permetent d'emplir totalament l'Univèrs. Per aquò, adoptèt de tecnicas per manipular de chifras importantas que prefiguran en partida lo logaritme^[2]. En Asia, se tròban tanben de traças vièlhas de concèptes matematicas liats a de logaritmes de basa 10 000^[3].

Lei metòdes antics prefigurant lo logaritme foguèron en partida oblidadas durant l'Edat Mejana. Pasmens, a partir dau sègle XV, plusors matematicians estudièron tornarmai lei grands nombre e descurbiguèron de concèptes vesins de la nocion actuala de logaritme. Lo premier es probable lo Francés Nicolas Chuquet († 1488) dins son Triparty en la science des nombres publicat a la fin dau periòde medievau^[4]. En Alemanha, Michael Stifel (1487-1567) publiquèt una taula de calculs, realizats a partir de l'estudi de seguidas, que pòu èsser considerada coma una version primitiva de taula de logaritmes binaris^[5]. En Africa, se pòu egalament citar Ibn Hamza al-Maghribi († 1611) qu'estudièt lei liames entre seguidas aritmeticas e geometricas e publiquèt sei descubèrtas dins un tractat paregut en 1591^[6]. Pasmens, son obratge, publicat en turc, aguèt pas d'influéncia sus sei contemporanèus.

La descubèrta dei logaritmes es de còps coatribuïda a Jost Bürgi (1552-1632). D'efiech, tre la fin dau sègle XVI, publiquèt de taulas trigonometricas que permetián de de realizar de multiplicacions ò de divisions de grands nombres gràcias a un sistèma d'addicions e de sostraccions (prostaferèsi). Puei, desvolopèt de tecnicas de calcul logaritmic que menèron a la publicacion d'una taula d'antilogaritmes en 1620^[7]. Pasmens, per de rasons desconegudas, l'edicion dei trabalhs logaritmics de Bürgi foguèt incomplèta. La taula foguèt publicada soleta, sensa explicacion. L'error foguèt pas corregida avans 1856^[8] e la taula de Bürgi demorèt donc pauc utilizada.

L'invencion dau logaritme es atribuïda au matematician escocés John Napier (1550-1617) qu'escriguèt la premiera teoria clara sus lo subjècte en 1614^[9]. Dins aquò, a la fin de sa vida, Napier, foguèt ajuda per Henry Briggs (1561-1630). Son idèa iniciala èra de realizar de taulas trigonometricas, gràcias a de calculs basats sus la prostaferèsi, per permetre un calcul rapide deis angles entre 0 e 90 °. Destinats a l'astronomia, aquelei calculs avián d'aplicacions importantas en navegacion. Dins aquò, fatigat, Napier s'inquietava fòrça de la preséncia d'errors dins son trabalh car èra conscient de son caractèr inacabat. Per ne'n permetre la correccion après sa mòrt, publiquèt donc lo detalh de son metòde.

Dins sa tecnica de calcul, Napier imaginèt premier un ponch P se desplaçant lòng d'un segment de drecha vèrs un ponch Q. En començant son trajècte a partir dau ponch P₀, amb una certana velocitat iniciala, se P se desplaça a una velocitat proporcionala a sa distància a respècte de Q, arribarà jamai a aqueu ponch. Puei, Napier juxtaposèt aquela idèa amb aquela d'un ponch L que se desplaça lòng d'un segment de drecha illimitat en començant au ponch L₀ amb una velocitat constanta egala a aquela de la velocitat iniciala dau ponch P. Definiguèt alora la distància de L₀ a L coma lo logaritme de la distància de P a Q.

En realizant plusors sostraccions consecutivas, Napier calculèt (1 – 10^-7)^L per L anant de 1 a 100. Lo resultat per L = 100 èra aproximativament 0,99999 = 1 – 10^-5. Puei, calculèt lei produchs d'aquelei nombres amb 10⁷(1 – 10^-5)^L per L anant de 1 a 50. Apliquèt lo meteis encaminament a 0,9998 ≈ (1 – 10^-5)²⁰ e a 0,9 ≈ 0,995²⁰. Après 20 ans de trabalh, obtenguèt, per totei lei valors de N anant de 5 a 10 milions, la valor de L permetent de resòuvre l'eqüacion N = 10⁷(1 – 10^-7)^L. Dins sei premiers tèxtes, qualifiquèt L de « nombre artificiau » avans d'adoptar lo tèrme « logaritme ».

Lei trabalhs de Napier conoguèron una difusion importanta. En particular, Johannes Kepler (1571-1630), Edmund Wingate (1596-1656) e Bonaventura Cavalieri (1598-1647) aguèron un ròtle centrau dins aqueu movement^[10]. Per exemple, Kepler demostrèt lèu l'interès dau logaritme dins lei calculs matematics e fisics^[11]. En 1647, lo prèire jesuista Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) descurbiguèt lo caractèr logaritmica de certanei foncions depintant la quadratura de l'iperbòla^[12]. Pasmens, lo liame amb lei trabalhs de Napier foguèt realizat dos ans pus tard per un autre matematician jesuista, Alphonse Antonio de Sarasa (1618-1667)^[13]. Aquò permetèt de desvolopar la teoria de Napier e de definir lo concèpte de logaritme naturau (ò neperian)^[14][15].

A la fin dau sègle XVII, lo nombre e foguèt identificat coma la basa dau logaritme neperian per Leibniz (1646-1716) e Christiaan Huygens (1629-1695)^[16]. Es a dire que ln(e) = 1. Vèrs 1730, Leonhard Euler (1707-1783) formalizèt lo liame entre la foncion exponenciala e lo logaritme neperian^[17].

Lei foncions logaritme son de morfismes continüs non constantament nuls de ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{*},\times )}$ vèrs ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$. Per tot nombre reau b estrictament positiu e diferent de 1, lo logaritme de basa b, ${\displaystyle \log _{b}}$, es la foncion continua definida sus ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ que verifica l'eqüacion foncionala seguenta per totei x e y reaus estrictament positius :

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

e

${\displaystyle \log _{b}(b)=1}$.

Aquela definicion permet de dedurre lei proprietats seguentas :

${\displaystyle \log _{b}(1)=0}$.

${\displaystyle \log _{b}(x/y)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$.

${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}$.

${\displaystyle \log _{b}(b^{n})=n}$ per tot entier naturau n, puei per tot entier relatiu n.

${\displaystyle \log _{b}(b^{r})=r}$ per tot racionau r.

Doas foncions logaritmes diferisson que d'una constanta multiplicativa. Ansin, per totei reaus estrictament positius a e b diferents de 1 e per tot reau x > 0 :

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$.

Totei lei foncions logaritmes pòdon donc s'escriure per lo mejan d'una unica foncion logaritme, generalament la foncion logaritme neperian. Dins aqueu cas, per tot reau b diferent de 1 e per tot reau x > 0 :

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$.

La foncion ${\displaystyle \log _{b}}$ es derivabla sus ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$. Sa derivada es egala a :

${\displaystyle \log _{b}'(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}}$

Lo logaritme neperian (ò logaritme naturau) es la foncion logaritme que sa derivada es la foncion invèrsa definida de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ dins ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$. Per convencion, es notat « ln » ò « log »^[18]. La basa de la foncion logaritme neperian, notada e, es dicha nombre de Néper^[19] ò nombre d'Euler^[20]. Es una constanta matematica fòrça importanta que sa valor aproximativa es egala a 2,718.

Lo logaritme neperian es la bijeccion recipròca de la foncion exponenciala. Es a dire que :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{\star }\quad {\rm {e}}^{\ln(x)}=x\qquad {\text{e}}\qquad \forall y\in \mathbb {R} \quad \ln({\rm {e}}^{y})=y,}$

Lo logaritme decimau es lo logaritme pus practic dins lei calculs numerics manuaus. Es notat « log » ò « log₁₀ »^[21]. Es frequentament utilizat dins la creacion deis escalas logaritmicas, dei marcas semilogaritmicas, dins lo calcul dau pH, etc. Lo logaritme decimau d'un nombre precisa la poissança a la quala es necessari de montar 10 per tornar trobar lo nombre. Ansin, en basa 10 :

${\displaystyle \log _{10}(10)=1{\text{ car }}10^{1}=10}$

${\displaystyle \log _{10}(100)=2{\text{ car }}10^{2}=100}$

${\displaystyle \log _{10}(1000)=3{\text{ car }}10^{3}=1000}$

${\displaystyle \log _{10}(0,01)=-2{\text{ car }}10^{-2}=0,01}$

Lo logaritme binari es lo logaritme de basa 2. Èra inicialament d'un usatge limitat ai calculs d'intervals musicaus a partir d'un rapòrt de frequéncias per obtenir d'octavas, de miegs tons e de tons. Pasmens, amb lo desvolopament dei tecnologias de l'informacion, lo logaritme de basa 2 es desenant egalament utilizat per leis ordinators que trabalhan en binari. Lei nòrmas internacionalas recomandan la notacion « lb » per lo logaritme binari mai son usatge es rar.

Lo cologaritme d'un nombre es l'opausat dau logaritme d'aqueu nombre e donc lo logaritme de son invèrs^[22] :

${\displaystyle \operatorname {colog} _{b}x=-\log _{b}x=\log _{b}{\frac {1}{x}}}$

Lo logaritme complèx es la foncion recipròca de l'exponenciala complèxa e generaliza la nocion de logaritme ai nombres complèxes. Lo logaritme discrèt generaliza lei logaritmes ai grops ciclics e a d'aplicacions en criptografia.

• (fr) Alain Bouvier, Michel George e François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses universitaires de France, 2001.
• (de) Ernst Hairer e Gerhard Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Verlag, 2011.
• (de) Klaus Jänich, Funktionentheorie. Eine Einführung, Springer, 2004.
• (la) John Napier, Mirifici logarithmorum canonis constructio, 1614.
• (fr) Charles Naux, Histoire des Logarithmes de Neper a Euler, tòmes 1 e 2, Blanchard, 1966 e 1971.
• (de) Wolfgang Walter, Analysis I. Grundwissen Mathematik, tòme 1, Springer, 1985.