Logaritmus

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

${\displaystyle x=a^{y}\,}$

a označujeme ho symbolicky

${\displaystyle y=\log _{a}x\,}$,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

${\displaystyle y=\log _{a}x\,}$

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval ${\displaystyle \left(0;\infty \right)}$, obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

• klesajúca, ak ${\displaystyle a\in \left(0,1\right)}$
• rastúca, ak ${\displaystyle a\in \left(1,\infty \right)}$

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi ${\displaystyle \left[1;0\right]}$ a ${\displaystyle \left[a;1\right]}$.

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus' (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

${\displaystyle y=\log x}$

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

${\displaystyle y=\ln x}$

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

${\displaystyle y=\lg x}$

Prirodzený logaritmus alebo Napierov logaritmus (podľa Johna Napiera) je taký logaritmus, ktorý ma základ e (Eulerovo číslo).

Skrátený zápis:

${\displaystyle y=\ln x}$

Niekde sa môžete stretnúť aj so zápisom

${\displaystyle y=\ln _{e}x\,}$

alebo

${\displaystyle y=\log _{e}x\,}$

Pre ${\displaystyle a,x,y>0,a\neq 1,r\in \mathbb {R} }$ platí:

• ${\displaystyle \log _{a}a^{x}=a^{\log _{a}x}=x,}$

• ${\displaystyle \log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}xy,\,}$

• ${\displaystyle \log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}}$

• ${\displaystyle \log _{a}x^{r}=r\log _{a}x\,}$

• ${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}$, kde ${\displaystyle b>0,b\neq 1}$

• Logaritmická funkcia