Série de Taylor

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
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Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{sendo}}\quad a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$,

onde ${\textstyle f(x)}$ é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de ${\textstyle f(x)}$ em torno do ponto ${\textstyle x=a}$. Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem ${\textstyle n}$ em torno de ${\textstyle x=a}$ de uma dada função ${\textstyle n}$-vezes diferenciável neste ponto é dado por:^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}

${\displaystyle p(x)=f(a)+f'(a){\frac {\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+f''(a){\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+f^{(n)}(a){\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}}$

No caso particular de ${\textstyle a=0}$, série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Toda série de Taylor possui um raio de convergência ${\displaystyle R}$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) ${\displaystyle |x-a|\leq r<R}$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

${\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}}$

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$

cuja série de Taylor é :

${\displaystyle f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots }$

A série de Taylor associada a uma função ${\displaystyle f}$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Função exponencial e logaritmo natural:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x}$^[10]

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Série geométrica:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Teorema binomial:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha }$

Funções trigonométricas:

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

onde B_k são números de Bernoulli.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

onde E_k são números de Euler.

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Funções hiperbólicas:

${\displaystyle \sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x}$

${\displaystyle \tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {arcsenh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1}$

Função W de Lambert:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}}$

A série de Taylor pode também ser definida para funções de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de ${\displaystyle f}$ em torno do ponto ${\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})}$ é dada por:

${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},}$

onde ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}}$ denota ${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).}$

Ou seja, tem-se:

${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}$

No caso particular ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle X_{0}=(x_{0},y_{0}):}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.}$^[11]

As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde ${\displaystyle a=0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}}$

Dessa forma, a série pode ser expandida como:

${\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...}$

Logo:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...}$

Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}$

Para o ${\displaystyle cos(x)}$, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=sen(x)\Rightarrow f(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'(x)=cos(x)\Rightarrow f'(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f'''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f'''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f'''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=cos(0)=1}$

Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+{f''''(0)\ x^{4} \over 4!}+{f'''''(0)\ x^{5} \over 5!}+{f''''''(0)\ x^{6} \over 6!}+{f'''''''(0)\ x^{7} \over 7!}+{f''''''''(0)\ x^{8} \over 8!}+{f'''''''''(0)\ x^{9} \over 9!}}$

Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com ${\displaystyle x}$ elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

${\displaystyle f(x)\cong \left({1x^{1} \over 1!}\right)+\left({-1x^{3} \over 3!}\right)+\left({1x^{5} \over 5!}\right)+\left({-1x^{7} \over 7!}\right)+\left({1x^{9} \over 9!}\right)}$

Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:

${\displaystyle f(x)\cong x\ -{x^{3} \over 3!}+\ {x^{5} \over 5!}\ -{x^{7} \over 7!}+\ {x^{9} \over 9!}}$

Dessa forma, a série pode ser escrita como:

${\displaystyle f(x)=sen(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}}$

Para o ${\displaystyle cos(x)}$, tem-se que:

${\displaystyle f(x)=cos(x)\Rightarrow f(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'(x)=-sen(x)\Rightarrow f'(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''(0)=sen(0)=0}$

${\displaystyle f''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow f''''''''(0)=cos(0)=1}$

${\displaystyle f'''''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f'''''''''(0)=-sen(0)=-0=0}$

${\displaystyle f''''''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f''''''''''(0)=-cos(0)=-1}$

${\displaystyle f'''''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f'''''''''''(0)=sen(0)=0}$

Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com ${\displaystyle x}$ elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:

${\displaystyle f(x)\cong {f(0)x^{0} \over 0!}+{f''(0)x^{2} \over 2!}+{f''''(0)x^{4} \over 4!}+{f''''''(0)x^{6} \over 6!}+{f''''''''(0)x^{8} \over 8!}}$

Substituindo-se os valores das derivadas e da ${\displaystyle f(0)}$ na série obtem-se:

${\displaystyle f(x)\cong {1x^{0} \over 0!}+{(-1)x^{2} \over 2!}+{1x^{4} \over 4!}+{(-1)x^{6} \over 6!}+{1x^{8} \over 8!}}$

Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:

${\displaystyle f(x)\cong 1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+{x^{8} \over 8!}}$

Ou ainda:

${\displaystyle f(x)=\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}.x^{2n} \over (2n)!}}$

Referências

1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC 13481133 (em alemão)
2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

• Exemplo Funções - Série de Taylor

• Portal da matemática

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