Diferencial (infinitesimal)

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O termo diferencial é usado em cálculo para referenciar a uma mudança infinitesimal (infinitamente pequena) em alguma quantidade variando. Por exemplo, se x é uma variável, então uma mudança no valor de x é frequentemente denotada Δx (pronunciado delta x). O diferencial dx representa uma mudança infinitamente pequena na variável x. A ideia de uma mudança infinitamente pequena ou infinitamente lenta é extremamente útil intuitivamente, e existem algumas maneiras de fazer a noção matematicamente precisa.

Usando o cálculo é possível relacionar as mudanças infinitamente pequenas de várias variáveis a cada outra matematicamente usando derivadas. Se y é uma função de x, então o diferencial dy de y é relacionado a dx pela fórmula

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x,\,}$

onde dy/dx denota a derivada de y em relação a x. Esta fórmula sumariza a ideia intuitiva de que a derivada de de y em relação a x é o limite da razão das diferenças Δy/Δx quando Δx se torna infinitesimal.

Existem diversas abordagens para tornar a noção de diferenciais matematicamente precisa.

1. Diferenciais como transformações lineares. Esta abordagem é a base da definição de derivada total e da derivada exterior em geometria diferencial.^[1]
2. Diferenciais como elementos nilpotentes de anéis comutativos. Esta abordagem é popular em geometria algébrica.^[2]
3. Diferenciais em modelos contínuos da teoria dos conjuntos. Esta abordagem é conhecida como geometria diferencial sintética ou análise infinitesimal contínua sendo intimamente relacionada com a abordagem algébrica geométrica, com exceção de que ideias da topos são usadas para ocultar o mecanismo pelo qual infinitesimais nilpotentes são introduzidos.^[3]
4. Diferenciais como infinitesimais em sistemas de números hiper-reais, que são extensões dos números reais que contém infinitesimais inversíveis e números largamente infinitos. Esta é a abordagem da análise não padronizada do pioneiro Abraham Robinson.^[4]

Estas abordagens são muito distintas umas das outras, mas tem em comum a ideia de ser quantitativa, ou seja, dizendo não apenas que um diferencial é infinitamente pequeno, mas quão pequeno ele é.

Referências

• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, ISBN 978-0-471-00005-1 2nd ed. , Wiley .
• Bell, John L. (1998), Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF) .
• Boyer, Carl B. (1991), «Archimedes of Syracuse», A History of Mathematics, ISBN 978-0-471-54397-8 2nd ed. , John Wiley & Sons, Inc. .
• Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, ISBN 978-0-521-46800-8, Cambridge, UK: Cambridge University Press .
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, ISBN 978-0-387-98637-1, Springer-Verlag 
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach 2nd ed.  .
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) 2nd ed. , Cambridge University Press .
• Lawvere, F.W. (1968), Outline of synthetic differential geometry (PDF) (publicado em 1998) .
• Moerdijk, I.; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag .
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, ISBN 978-0-691-04490-3, Princeton University Press .

• Cálculo
• Equação diferencial
• Forma diferencial