Taylorov rad

Taylorov rad funkcie ${\displaystyle f}$ premennej ${\displaystyle x}$ v bode ${\displaystyle a}$ je potenčný rad (mocninový rad) so stredom ${\displaystyle a}$ v tvare

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

pričom

• ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ je ${\displaystyle n}$-tá derivácia funkcie ${\displaystyle f}$ v bode ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle f}$ má v okolí bodu ${\displaystyle a}$ derivácie všetkých rádov.

Funkcia sa nazýva analytická (v bode ${\displaystyle a}$) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu ${\displaystyle a}$ zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je

${\displaystyle 0\not =x\mapsto e^{-{\frac {1}{|x|}}},\ 0\mapsto 0}$.

Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula.

Taylorov rozvoj (funkcie ${\displaystyle f}$ premennej ${\displaystyle x}$ v bode ${\displaystyle a}$) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu ${\displaystyle a}$ sa rovná ${\displaystyle f(x)}$. Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode ${\displaystyle a=0}$.

Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve Taylorov rad umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly

${\displaystyle \sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}}$.

Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa ${\displaystyle n}$. Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod ${\displaystyle x=0}$. Vezmime funkciu ${\displaystyle f}$ a všeobecný polynóm

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n}}$

Treba však nájsť koeficienty ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$, aby nastala rovnosť ${\displaystyle f(x)=p(x)}$, pre ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}(0)}$. Jednoducho možno odvodiť, že ${\displaystyle a_{0}=f(0)}$. Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient ${\displaystyle a_{1}}$ teda vypočítame prvou deriváciou

${\displaystyle f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots +na_{n}x^{n-1}}$

Po dosadení jednoducho ${\displaystyle a_{1}=f'(0)}$. Všeobecne pre ${\displaystyle k}$-ty člen polynómu platí

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}}$

Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.

Nech ${\displaystyle f}$ je ${\displaystyle (n+1)}$-krát diferencovateľná funkcia v bode ${\displaystyle a}$, definovaná na okolí ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ bodu ${\displaystyle a}$. Potom platí

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n+1}(x)}$

kde výraz ${\displaystyle R_{n+1}(x)}$ označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť (teda časť bezo zvyšku) sa nazýva (${\displaystyle n}$-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie ${\displaystyle f}$ so stredom v bode ${\displaystyle a}$.

Aby bol polynóm ${\displaystyle p(x)}$ konečného stupňa ${\displaystyle n}$ Taylorovým polynómom, musí platiť:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-p(x)}{(x-a)^{n}}}=0}$

Implikácia platí aj opačne, teda ak je uvedená limita nulová, potom ${\displaystyle p(x)}$ je Taylorovým polynómom funkcie ${\displaystyle f}$ stupňa ${\displaystyle n}$.

Ak sa ${\displaystyle n}$ blíži k nekonečnu, nazýva sa Taylorov aproximačný polynóm Taylorov rad.

Cauchyho tvar vychádza z Lagrangeovej vety o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Oveľa praktickejšie je však jeho zovšeobecnenie – Lagrangeov tvar, ktorý je ľahšie zapamätateľný. Nech číslo ${\displaystyle \zeta }$ je medzi ${\displaystyle x}$ a stredom ${\displaystyle a}$. Teda v prípade ${\displaystyle x<a}$ je ${\displaystyle \zeta \in (x,a)}$, v opačnom prípade ${\displaystyle x>a}$ je ${\displaystyle \zeta \in (a,x)}$. Potom je zvyšok možné zapísať v tvare

${\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{n!}}(x-\zeta )^{n}(x-a)}$

Lagrangeov tvar je zovšeobecnením Cauchyho tvaru a využíva Cauchyho vetu o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Tento tvar je jednoduchší než Cauchyho, pretože sa podobá na nasledujúci ${\displaystyle (n+1)}$-vý člen rozvoja.

${\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$

${\displaystyle R_{n+1}(x)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(z)}{n!}}(x-z)^{n}\,\mathrm {d} z}$

V tabuľke sú odvodené Taylorove rady niektorých elementárnych funkcií. Na základe ich znalosti je možné odvodiť rozvoje iných, zložitejších funkcií.

Funkcia	Taylorov rad	Konvergencia
Exponenciálna funkcia	${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Goniometrická funkcia sínus	${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Goniometrická funkcia cosínus	${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Cyklometrická funkcia arkussínus	${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!x^{2n+1}}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}}$	${\displaystyle x\in \langle -1;1\rangle }$
Cyklometrická funkcia arkustangens	${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}}$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Nekonečný geometrický rad	${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$	${\displaystyle |x|<1}$
Prirodzený logaritmus	${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}}$	${\displaystyle |x|\leq 1,x\neq +1}$ ${\displaystyle |x|\leq 1,x\neq -1}$
Zovšeobecnený binomický dvojčlen	${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}}$	${\displaystyle |x|<1}$

Nájdime Taylorov rad funkcie ${\displaystyle f(x)=\arctan 3x-x\ln(1+x^{2})}$ so stredom v bode ${\displaystyle a=0}$. Najprv uvážime Taylorove rady funkcií arkustangens a prirodzený logaritmus. Pre arkustangens platí

${\displaystyle \left.\arctan u\right|_{u=3x}=\left.\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}u^{2n+1}}{2n+1}}\right|_{u=3x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(3x)^{2n+1}}{2n+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}3^{2n+1}}{2n+1}}x^{2n+1}}$

Podobne odvodíme vzťah pre logaritmus

${\displaystyle \left.x\ln(1-u)\right|_{u=-x^{2}}=-\left.x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n}}\right|_{u=-x^{2}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}x^{2n+1}}$

Súčtom týchto radov a úpravou do vhodného tvaru dostaneme Taylorov rad funkcie ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}f(x)&=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}3^{2n+1}}{2n+1}}x^{2n+1}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}x^{2n+1}=\\&=3x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}3^{2n+1}}{2n+1}}x^{2n+1}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}x^{2n+1}=\\&=3x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {3^{2n+1}}{2n+1}}+{\frac {1}{n}}\right)x^{2n+1}\end{array}}}$

V praxi je využiteľný práve Taylorov polynóm, čo je špeciálny prípad Taylorovho radu, pričom sa vypočíta niekoľko prvých členov. Chyba, ktorej sa pri určovaní funkčnej hodnoty dopustíme, sa dá odhadnúť pomocou zvyškov. V teórii a pri teoretických dôkazoch je dôležité používať rozvoje funkcií cez definíciu Taylorovho radu ako nekonečného súčtu. Ak používame pri výpočte radu len niekoľko ${\displaystyle k}$ prvých členov, ostatné je zvykom zapísať v tvare ${\displaystyle o(x^{k})}$. Tento zápis znamená napríklad pre ${\displaystyle p(x)=x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})}$, že ide o členy stupňa vyššieho, ako ${\displaystyle 3}$. Zároveň platí, že

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {o(x^{n})}{x^{n}}}=0}$

Nájdime súčet nekonečného číselného radu

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\pi ^{2n}}{4^{n}(2n+1)!}}}$

Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus, pričom zvolíme ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2n}}{4^{n}}}=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}=x^{2n}}$

${\displaystyle \left.\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}\right|_{x={\frac {\pi }{2}}}=\left.{\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right|_{x={\frac {\pi }{2}}}=\left.{\frac {1}{x}}\sin x\right|_{x={\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}$

Niektoré limity nie je možné vypočítať bežnými prostriedkami, prípadne je to príliš zdĺhavé. Napríklad použitie L’Hospitalovho pravidla nezaručuje vždy jednoduchý postup. Dá sa ním však jednoducho vypočítať mnoho známych limít

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1+x+o(x)-1}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(1+{\frac {o(x)}{x}}\right)=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+o(x^{3})}{x^{3}}}={\frac {1}{6}}}$

Pomocou Taylorovho radu sa dá definovať aj abstraktný pojem z algebry – maticová exponenciála. Táto exponenciála sa využíva napríklad pri riešení systémov diferenciálnych rovníc. Uvažujme systém obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorý môžeme napísať v tvare

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}}$

Podobne ako obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu, má aj táto maticová diferenciálna rovnica riešenie v tvare

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} _{0}}$

kde ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ je vektor s počiatočnými podmienkami pre partikulárne riešenie. Definovať maticovú exponenciálu umožňuje teoretický poznatok o diagonalizácii matice a Taylorovom rade. Exponenciálnu funkciu ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}}$, bez ohľadu na to, aký objekt predstavuje ${\displaystyle \mathrm {A} t}$ (v tomto prípade matica) môžeme zapísať

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathbf {I} +\mathbf {A} t+{\frac {1}{2!}}\mathbf {A} ^{2}t^{2}+{\frac {1}{3!}}\mathbf {A} ^{3}t^{3}+\cdots }$

Z diagonalizácie matice platí

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}&=\mathbf {V} \mathbf {V} ^{-1}+\mathbf {V} \Lambda \mathbf {V} ^{-1}t+{\dfrac {1}{2!}}\mathbf {V} \Lambda ^{2}\mathbf {V} ^{-1}t^{2}+{\dfrac {1}{3!}}\mathbf {V} \Lambda ^{3}\mathbf {V} ^{-1}t^{3}+\cdots =\\&=\mathbf {V} \left(\mathbf {I} +\Lambda t+{\dfrac {1}{2!}}\Lambda ^{2}t^{2}+{\dfrac {1}{3!}}\Lambda ^{3}t^{3}+\cdots \right)\mathbf {V} ^{-1}=\\&=\mathbf {V} \mathrm {e} ^{\Lambda t}\mathbf {V} ^{-1}\end{array}}}$

Matica ${\displaystyle \mathbf {V} }$ je matica vlastných vektorov a matica ${\displaystyle \Lambda }$ je matica vlastných čísel matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Podmienka diagonalizovateľnosti matice je však nutná. V prípade, že matica nie je diagonalizovateľná, je možné použiť na riešenie Jordanov tvar matice a rozklad ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {MJM} ^{-1}}$. Pre všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej sústavy platí

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {V} \mathrm {e} ^{\Lambda t}\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} _{0}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\Lambda t}={\begin{bmatrix}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}t}&0&0&\cdots &0\\0&\mathrm {e} ^{\lambda _{2}t}&0&\cdots &0\\0&0&\mathrm {e} ^{\lambda _{3}t}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\mathrm {e} ^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}}$

• Nekonečný číselný rad
• Funkcionálny rad
• Infinitezimálny počet
• Derivácia
• Lagrangeova veta o strednej hodnote
• Cauchyho veta o strednej hodnote
• Fourierov rad