Função trigonométrica

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Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco cosseno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen^-1 e cos^-1.^[1] O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo: $${\displaystyle \operatorname {arcsen} (1)={\frac {\pi }{2}}}$$ pois $${\displaystyle \operatorname {sen} \,{\frac {\pi }{2}}=1.}$$

Função	Abreviatura	Identidade trigonométrica
Seno	sen (ou sin)	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}}$
Cosseno	cos	${\displaystyle \cos \theta \equiv \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}}$
Tangente	tan (ou tg)	${\displaystyle \tan \theta \equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}}$
Cossecante	csc (ou cosec)	${\displaystyle \csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}$
Secante	sec	${\displaystyle \sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}}$
Cotangente	cot (ou ctg ou ctn)	${\displaystyle \cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}}$

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século XIV), Ulugh Beg (século XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.^{[carece de fontes?]}

Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas.^[2] Introductio in analysin infinitorum (1748), de Leonhard Euler, foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "fórmula de Euler", bem como as abreviações quase modernas sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.^[3]

Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a corda (crd(θ) = 2 sen(θ/2)), o verseno (versen(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sen²(θ/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas^[3]), o haverseno (haversen(θ) = versen(θ) / 2 = sen²(θ/2)), a exsecante (exsec(θ) = sec(θ) − 1) e a excossecante (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.

Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra sânscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o árabe como jiba, escrita como jb, já que as vogais não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no século XII, para o latim, como sinus, com a impressão errônea de que jb referia-se à palavra jaib, que significa "seio" em árabe, tal como sinus em latim.^[4] Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno.^[5] A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, já que a linha toca o círculo unitário; já secante origina-se do latim secans — "cortando" — já que a linha corta o círculo.

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo ${\displaystyle \alpha ,}$ considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a ${\displaystyle \alpha .}$ As funções são definidas como:

$${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\operatorname {sen} \alpha &=&{\frac {\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}}&=&{\frac {a}{h}}\\~\\\cos \alpha &=&{\frac {\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}}&=&{\frac {b}{h}}\\~\\\tan \alpha &=&{\frac {\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}}&=&{\frac {a}{b}}\\~\\\cot \alpha &=&{\frac {\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}}&=&{\frac {b}{a}}\\~\\\sec \alpha &=&{\frac {\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}}&=&{\frac {h}{b}}\\~\\\csc \alpha &=&{\frac {\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}}&=&{\frac {h}{a}}\end{array}}}$$

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do teorema de Tales.

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo ${\displaystyle \theta }$ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto ${\displaystyle (x,y)}$ pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\quad (1)}$$ E, ainda, para cada ângulo ${\displaystyle \theta }$ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ faz um ângulo ${\displaystyle \theta }$ com o eixo x.

Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ sobre o eixo y. O cosseno é definido como a projeção do segmento ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ com o eixo x. Isto é: $${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =y\quad \cos \theta =x\quad (2)}$$

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir: $${\displaystyle {\begin{array}{rclrcl}\tan \theta &=&{\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\quad &\sec \theta &=&{\frac {1}{\cos \theta }}\\~\\\csc \,\theta &=&{\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}\quad &\cot \,\theta &=&{\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{array}}}$$

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

Observa-se diretamente de (1) e (2) a relação fundamental entre o cosseno e o seno de um ângulo ${\displaystyle \theta :}$ $${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$$

Considerando ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, as seguintes afirmações são válidas:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x\pm y)=\operatorname {sen}(x)\cos(y)\pm \operatorname {sen}(y)\cos(x)}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(y)\operatorname {sen}(x)}$

Das relações acima, fazendo ${\displaystyle y=x}$, obtém-se:

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\operatorname {sen} ^{2}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(2x)=2\operatorname {sen}(x)\cos(x)}$

Outras relações:

${\displaystyle \tan(x+y)={\frac {\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}}\quad \ \ \ \ x,y\neq \pi /2+K\pi ,\ K\in \mathrm {Z} }$

1. ${\displaystyle \cos(a)+\cos(b)=2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)}$
2. ${\displaystyle \cos(a)-\cos(b)=-2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)}$
3. ${\displaystyle \operatorname {sen}(a)+\operatorname {sen}(b)=2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)}$
4. ${\displaystyle \operatorname {sen}(a)-\operatorname {sen}(b)=2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)}$

1. ${\displaystyle \cos(a)\cos(b)={\tfrac {1}{2}}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]}$
2. ${\displaystyle \cos(a)\operatorname {sen}(b)={\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)-\operatorname {sen}(a-b)]}$
3. ${\displaystyle \operatorname {sen}(a)\cos(b)={\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)+\operatorname {sen}(a-b)]}$
4. ${\displaystyle \operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)={\tfrac {1}{2}}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]}$

Alternativamente, todas as funções trigonométricas podem ser definidas geometricamente conforme figura ao lado. Observe que o triângulo OAE é retângulo, o cateto AO é unitário e o cateto AE é oposto ao ângulo ${\displaystyle \theta }$ e, portanto, sendo OE a hipotenusa deste triângulo, temos: $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {~~{\overline {AE}}~~}{\overline {AO}}}={\overline {AE}},\quad \sec \theta ={\frac {~~{\overline {OE}}~~}{\overline {AO}}}={\overline {OE}}}$$

O triângulo AOF também é retângulo, sendo o cateto AO unitário, a hipotenusa OF e o ângulo AFO igual a ${\displaystyle \theta ,}$ portanto: $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {~~{\overline {AF}}~~}{\overline {AO}}}={\overline {AF}},\quad \csc \theta ={\frac {~~{\overline {OF}}~~}{\overline {AO}}}={\overline {OF}}}$$

A função geral é uma representação das funções trigonométricas criada a fim de simplificar e tornar mais intuitivas suas propriedades e relações. Ela é definida do seguinte modo: ${\displaystyle V_{0}(\theta )=\cos(\theta )}$ e ${\displaystyle D_{\theta }^{n}V_{x}(\theta )=V_{n+x}(\theta )}$, em que ${\displaystyle D_{x}^{n}}$ é a notação de Euler para diferenciação. Exemplificam-se as abaixo as representações tradicionais na forma generalizada :

1. ${\displaystyle V_{-2}(x)=-\cos(x)}$
2. ${\displaystyle V_{-1}(x)=\operatorname {sen}(x)}$
3. ${\displaystyle V_{0}(x)=\cos(x)}$
4. ${\displaystyle V_{0,5}(x)=\cos(x-\pi /4)}$
5. ${\displaystyle V_{1}(x)=-\operatorname {sen}(x)}$

Detalhes de notação: ${\displaystyle V_{a}=V_{a}(0)}$

1. Base par: ${\displaystyle V_{p}(\theta )=V_{p}(-\theta )}$
2. Relação fundamental: se ${\displaystyle a-b}$ for um número ímpar, então ${\displaystyle V_{a}^{2}(x)+V_{b}^{2}(x)=1}$
3. Base ímpar:${\displaystyle V_{i}(\theta )=-V_{i}(-\theta )}$
4. Mudança de Base: ${\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{b}\left(\theta +{\tfrac {a-b}{2}}\pi \right)}$
5. Periodicidade da base: ${\displaystyle V_{a}(\theta )=(-1)^{k}V_{a+2k}(\theta ),k\in \mathbb {Z} }$
6. Periodicidade do arco: ${\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{a}(\theta +2k\pi ),k\in \mathbb {Z} }$
7. Extrusão de base: ${\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{0}\left(\theta +a{\frac {\pi }{2}}\right)}$
8. "Passar arco para o outro lado": ${\displaystyle V_{\alpha }(x+a)=V_{\beta }(b)\implies V_{\alpha }(x)=V_{\beta }(b-\alpha )}$

${\displaystyle V_{a}(x)+V_{b}(y)=2V_{\tfrac {a+b}{2}}\left({\tfrac {x+y}{2}}\right)V_{\tfrac {a-b}{2}}\left({\tfrac {x-y}{2}}\right)}$

Exemplos:

1. Soma de cossenos: ${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)+\cos(b)&=&2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{0}(b)&=&2V_{\tfrac {0+0}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {0-0}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{0}(b)&=&2V_{0}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{0}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}}$
2. Diferença de cossenos: ${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)-\cos(b)&=&-2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&2V_{\tfrac {0+2}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {0-2}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&2V_{1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&-2V_{-1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}}$
3. Soma de senos: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)+\operatorname {sen}(b)&=&2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=&2V_{\tfrac {-1-1}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {-1+1}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=&2V_{-1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{0}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}}$
4. Diferença de senos: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)-\operatorname {sen}(b)&=&2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{1}(b)&=&2V_{\tfrac {-1+1}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {-1-1}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{1}(b)&=&2V_{0}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}}$

É também possível transformar produto de gerais em soma de gerais. Isto é feito da seguinte forma:

• Para 2 termos, ${\displaystyle V_{a}(x)V_{b}(y)={\tfrac {1}{2}}[V_{a+b}(x+y)+V_{a-b}(x-y)]}$
• Para 3 termos, ${\displaystyle V_{a}(x)V_{b}(y)V_{c}(z)={\tfrac {1}{4}}[V_{a+b+c}(x+y+z)+V_{a+b-c}(x+y-z)+V_{a-b+c}(x-y+z)+V_{a-b-c}(x-y-z)]}$
• Para 4 termos, ${\displaystyle V_{a}(w)V_{b}(x)V_{c}(y)V_{d}(z)={\frac {1}{8}}\left[{\begin{array}{c}V_{a+b+c+d}(w+x+y+z)+V_{a+b+c-d}(w+x+y-z)+\\+V_{a+b-c+d}(w+x-y+z)+V_{a+b-c-d}(w+x-y-z)+\\+V_{a-b+c+d}(w-x+y+z)+V_{a-b+c-d}(w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c+d}(w-x-y+z)+V_{a-b-c-d}(w-x-y-z)\end{array}}\right]}$
• Para 5 termos, ${\displaystyle V_{a}(v)V_{b}(w)V_{c}(x)V_{d}(y)V_{e}(z)={\frac {1}{16}}\left[{\begin{array}{c}V_{a+b+c+d+e}(v+w+x+y+z)+V_{a+b+c+d-e}(v+w+x+y-z)+\\+V_{a+b+c-d+e}(v+w+x-y+z)+V_{a+b+c-d-e}(v+w+x-y-z)+\\+V_{a+b-c+d+e}(v+w-x+y+z)+V_{a+b-c+d-e}(v+w-x+y-z)+\\+V_{a+b-c-d+e}(v+w-x-y+z)+V_{a+b-c-d-e}(v+w-x-y-z)+\\+V_{a-b+c+d+e}(v-w+x+y+z)+V_{a-b+c+d-e}(v-w+x+y-z)+\\+V_{a-b+c-d+e}(v-w+x-y+z)+V_{a-b+c-d-e}(v-w+x-y-z)+\\+V_{a-b-c+d+e}(v-w-x+y+z)+V_{a-b-c+d-e}(v-w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c-d+e}(v-w-x-y+z)+V_{a-b-c-d-e}(v-w-x-y-z)\end{array}}\right]}$

Repare a sequência binária nos sinais '+' e '-'. Para 3 termos, por exemplo, note que os sinais entre 'a', 'b' e 'c' se comportam da seguinte maneira: ++, +-, -+, --. O comportamento binário é observado para qualquer quantidade de termos. Tal formulação é bastante vantajosa para um alto número de termos, encontrados, entre outros, no estudo de máquinas elétricas (como no cálculo do torque eletromagnético, que demanda 3 termos) - a qual seria de difícil obtenção através dos meios tradicionais.

Exemplos:

1. Produto do seno com o cosseno: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)\cos(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)+\operatorname {sen}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1+0}(a+b)+V_{-1-0}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)+V_{-1}(a-b)]\end{cases}}}$
2. Produto de cossenos: ${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)\cos(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0+0}(a+b)+V_{0-0}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0}(a+b)+V_{0}(a-b)]\end{cases}}}$
3. Produto do cosseno com o seno: ${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)\operatorname {sen}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)-\operatorname {sen}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0-1}(a+b)+V_{0+1}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)+V_{1}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)-V_{-1}(a-b)]\end{cases}}}$
4. Produto de senos: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1-1}(a+b)+V_{-1+1}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-2}(a+b)+V_{0}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[-V_{0}(a+b)+V_{0}(a-b)]\end{cases}}}$
   

Para uma geral de dado arco, é possível decompô-la em soma de produtos de gerais de outros arcos.

• Em 2 arcos, ${\displaystyle V_{a}(x+y)=V_{a}(x)V_{0}(y)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)}$
• Em 3 arcos, ${\displaystyle V_{a}(x+y+z)=V_{a}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)}$
• Em 4 arcos, ${\displaystyle V_{a}(w+x+y+z)=\left({\begin{array}{c}V_{a}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)\\\end{array}}\right)}$
• Em 5 arcos, ${\displaystyle V_{a}(v+w+x+y+z)=\left({\begin{array}{c}V_{a}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+4}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)\end{array}}\right)}$

Note a sequência binária na base das funções gerais V(y) e V(z): 00, 0(-1), (-1)0, (-1)(-1). O comportamento binário é observado para qualquer 'n'. A base da função geral da esquerda, V(x), altera-se, em cada termo da soma para manter igual a soma das bases iguais à base inicial:

• No caso, para 2 arcos, note que, na base, tem-se:${\displaystyle {\begin{cases}a+0+0=a\\(a+1)+0+(-1)=a\\(a+1)+(-1)+0=a\\(a+2)+(-1)+(-1)=a\end{cases}}}$

Exemplos:

1. Cosseno da soma:${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a+b)&=&\cos(a)\cos(b)-\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)-V_{-1}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}}$
2. Seno da soma: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a+b)&=&\operatorname {sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)+V_{0}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}}$
3. Seno da diferença: ${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a-b)&=&\operatorname {sen}(a)\cos(b)-\cos(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(-b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)-V_{0}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}}$
4. Cosseno da diferença: ${\displaystyle {\begin{cases}\cos(a-b)&=&\cos(a)\cos(b)+\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(-b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(-b)+V_{1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{-1}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}}$

Seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função de natureza exponencial (seja real ou complexa).

Exemplos:

• ${\displaystyle f(x)=\sum _{i}A_{i}V_{\alpha _{i}}(x-\beta _{i})}$
• ${\displaystyle f(x)=\sum _{i}A_{i}e^{j(x+\alpha _{i})}+\sum _{i}B_{i}e^{j(-x+\beta _{i})}}$
• ${\displaystyle f(x)}$ é um fasor

É válida a seguinte identidade:

${\displaystyle f(x)=f(0)\cdot V_{0}(x)+f'(0)\cdot V_{-1}(x)}$

Como a função foi decomposta em soma ponderada de seno e cosseno com ângulo comum variável em função de x, pode-se juntar os dois arcos da seguinte forma:

${\displaystyle AV_{0}(x)+BV_{-1}(x)=\operatorname {sgn}(A){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}V_{0}\left(x-\tan ^{-1}{\frac {B}{A}}\right)}$

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

$${\displaystyle {\begin{array}{rclcrcl}\operatorname {sen} 30^{o}&=&{\frac {1/2}{1}}={\frac {1}{2}},\quad &\operatorname {sen} 60^{o}&=&{\frac {{\sqrt {3}}/2}{1}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\~\\\cos 30^{o}&=&{\frac {{\sqrt {3}}/2}{1}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},&\cos 60^{o}&=&{\frac {1/2}{1}}={\frac {1}{2}}\\~\\\tan 30^{o}&=&{\frac {1/2}{{\sqrt {3}}/2}}={\frac {\sqrt {3}}{3}},&\tan 60^{o}&=&{\frac {{\sqrt {3}}/2}{1/2}}={\sqrt {3}}\\~\\\cot 30^{o}&=&{\frac {{\sqrt {3}}/2}{1/2}}={\sqrt {3}},&\cot 60^{o}&=&{\frac {1/2}{{\sqrt {3}}/2}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\\~\\\sec 30^{o}&=&{\frac {1}{{\sqrt {3}}/2}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}},&\sec 60^{o}&=&{\frac {1}{1/2}}=2\\~\\\csc 30^{o}&=&{\frac {1}{1/2}}=2,&\csc 60^{o}&=&{\frac {1}{{\sqrt {3}}/2}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\end{array}}}$$

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rclcrcl}\operatorname {sen} 45^{o}&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},\quad &\cos 45^{o}&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\\~\\\tan 45^{o}&=&{\frac {1}{1}}=1,\quad &\cot 45^{o}&=&{\frac {1}{1}}=1\\~\\\sec 45^{o}&=&{\frac {\sqrt {2}}{1}}={\sqrt {2}}\quad &\csc 45^{o}&=&{\frac {\sqrt {2}}{1}}={\sqrt {2}}\end{array}}}$$

$${\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} x}$$ Associa a cada número real ${\displaystyle x,}$ o número ${\displaystyle y=\operatorname {sen} x}$

• Domínio: Como ${\displaystyle x}$ pode assumir qualquer valor real: ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$
• Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem é o intervalo entre esses valores. Logo, ${\displaystyle \operatorname {Im} =[-1,1]}$
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a ${\displaystyle 2\pi .}$ Esse intervalo é denominado senoide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da senoide. No caso da função ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} \,x,}$ a senoide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a ${\displaystyle 2\pi ,}$ portanto o período é 2${\displaystyle \pi .}$
• Paridade: Dado que ${\displaystyle \operatorname {sen} (-x)=-\operatorname {sen} x,}$ a função seno é ímpar.
• Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
  • ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} x}$ é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
  • ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} x}$ é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

$${\displaystyle f(x)=\cos x}$$ Associa a cada número real ${\displaystyle x,}$ o número ${\displaystyle y=\cos x}$

• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: ${\displaystyle D=R}$
• Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: ${\displaystyle \operatorname {Im} =[-1,1]}$
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a ${\displaystyle 2\pi .}$ Esse intervalo é denominado cossenoide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da cossenoide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenoide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a ${\displaystyle 2\pi ,}$ portanto o período é ${\displaystyle 2\pi .}$
• Paridade: Dado que ${\displaystyle \operatorname {cos} (-x)=\operatorname {cos} x,}$ a função cosseno é par.
• Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
  • ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
  • ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

$${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x}$$ Associa a cada número real x o número ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$

• Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de ${\displaystyle \cos x=0}$ (porque a divisão por zero não está definida), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
• Conjunto Imagem: ${\displaystyle \operatorname {Im} =\mathbb {R} }$
• Gráfico: Tangentoide.
• Período: o período da função tangente é ${\displaystyle \pi .}$
• Paridade: Dado que ${\displaystyle \operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x,}$ a função tangente é ímpar.
• Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de um círculo unitário e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

$${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x}$$ é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva). $${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x}$$é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

${\displaystyle f(x)=\operatorname {cot} x}$

Associa a cada número real x o número ${\displaystyle y=\operatorname {cot} x}$

• Domínio: A função da cotangente apresenta uma peculiaridade, similar a função tangente. Ela não existe quando o valor de ${\displaystyle \operatorname {tg} x=0.}$ Assim, seu domínio fica definido como: ${\displaystyle \left\{x\in {\mathbb {R} }|x\neq {k}\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}.}$
• Conjunto imagem: A imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, logo: ${\displaystyle \operatorname {Im} =\mathbb {R} .}$
• Período: o período da função cotangente é ${\displaystyle \pi .}$
• Paridade: Dado que ${\displaystyle \operatorname {cot} (-x)=-\operatorname {cot} x,}$ temos que a função cotangente é impar.
• Sinal da função: A função cotangente apresenta os mesmo sinais de uma função tangente de mesmo arco, logo:

${\displaystyle f(x)=\operatorname {cot} (x)}$ é positiva no 1° e no 3° quadrante e negativa no 2° e no 4° quadrante.

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sec} x}$

Associa a cada número real x o número ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sec} x.}$

• Domínio: A função secante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o ${\displaystyle \operatorname {cos} x=0.}$ Assim, seu domínio fica definido como: ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
• Conjunto imagem: a imagem da função secante é dada por ${\displaystyle \mathbb {R} -\left({-1,1}\right).}$
• Período: o período da função secante é ${\displaystyle 2\pi .}$
• Paridade: a função secante é uma função par, pois ${\displaystyle \operatorname {sec} x=\operatorname {sec} (-x).}$
• Sinal da função:a função secante apresenta os mesmos sinais da função cosseno, logo:

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sec} x}$ é positiva no 1° e no 4° quadrante e negativa no 2° e no 3° quadrante.

${\displaystyle f(x)=\operatorname {csc} x}$

Associa a cada número real x o número ${\displaystyle f(x)=\operatorname {csc} x.}$

• Domínio: a função cossecante apresenta domínio igual ao conjunto dos números reais, retirando os valores para os quais o ${\displaystyle \operatorname {sen} x=0.}$ Logo, seu domínio fica definido como: ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq {k}\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
• Conjunto imagem: a imagem da função cossecante é dada por ${\displaystyle \mathbb {R} -\left({-1,1}\right).}$
• Período: o período da função cossecante é ${\displaystyle 2\pi .}$
• Paridade; a função cossecante é ímpar, pois ${\displaystyle \operatorname {csc} x=-\operatorname {csc} (-x)}$
• Sinal da função: a função cossecante apresenta os mesmos sinais da função seno, logo:

${\displaystyle f(x)=\operatorname {csc} x}$ é positiva no 1° e no 2° quadrante e negativa no 3° e no 4° quadrante.^[7]

Pode-se definir as funções sen(x) e cos(x) pelas séries de Taylor a seguir:^[8][9]

$${\displaystyle \operatorname {sen} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$$ $${\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}$$

Estas séries têm raio de convergência infinito e portanto definem as funções em todos os reais e também em todos os complexos.

As propriedades usuais destas funções podem ser inferidas diretamente das definições acima.

Sejam x e y quaisquer então: $${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\operatorname {sen} (x)\cos(y)+\operatorname {sen} (y)\cos(x)}$$

Dem.: ${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}(x+y)^{2n+1}}$

Usando o binômio de Newton: $${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\sum _{l=0}^{2n+1}{2n+1 \choose l}x^{l}y^{2n+1-l}}$$

A convergência uniforme nos permite rearranjar os termos: $${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{l{\text{ ímpar}}}x^{l}\sum _{n=(l-1)/2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{2n+1 \choose l}y^{2n}+\sum _{l{\text{ par}}}x^{l}\sum _{n=l/2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{2n+1 \choose l}y^{2n+1}}$$

$${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{l{\text{ impar}}}x^{l}\sum _{n=(l-1)/2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}}y^{2n+1-l}+\sum _{l{\text{ par}}}x^{l}\sum _{n=l/2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}}y^{2n+1-l}}$$

Escreva (l=2i+1) no primeiro somatório e (l=2i) no segundo. $${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{i}^{\infty }x^{(2i+1)}\sum _{n=i}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2i+1)!(2n-2i)!}}y^{2n-2i}+\sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}\sum _{n=i}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2n+1-2i)!}}y^{2n-2i}}$$

Substitua ${\displaystyle n\gets n+i:}$ $${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\sum _{i}^{\infty }x^{(2i+1)}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+i}}{(2i+1)!(2n)!}}y^{2n}+\sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+i}}{(2i)!(2n+1)!}}y^{2n}}$$

$${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\left(\sum _{i}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{(2i+1)}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}y^{2n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}y^{2n}\right)}$$

E assim: ${\displaystyle \operatorname {sen} (x+y)=\operatorname {sen} (x)\cos(y)+\operatorname {sen} (y)\cos(x)}$

Devido à natureza simétrica e periódica das funções trigonométricas, estas podem ser estendidas como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\theta )&=-\cos(\pi -\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&=\operatorname {sen}(\pi -\theta )\\\cos(\theta )&=-\cos(\theta -\pi )\\\operatorname {sen}(\theta )&=-\operatorname {sen}(\theta -\pi )\\\cos(\theta )&=\cos(2\pi -\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&=-\operatorname {sen}(2\pi -\theta )\end{aligned}}}$

A extensão para os números reais ocorre pela periodicidade:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\theta +2k\pi )&=\cos(\theta ),\quad k\in \mathbb {Z} \\\operatorname {sen}(\theta +2k\pi )&=\operatorname {sen}(\theta ),\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

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