Лагарыфм

Арыфметычныя аперацыі

Складанне (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle {\text{складаемае}}\,+\,{\text{складаемае}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{сума}}}$ Адніманне (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{памяншаемае}}\,-\,{\text{аднімаемае}}\\\scriptstyle {\text{зменшыва}}\,-\,{\text{аднімнік}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{рознасць}}}$ Множанне (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{сумножнік}}\,\times \,{\text{сумножнік}}\\\scriptstyle {\text{множыва}}\,\times \,{\text{множнік}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{здабытак}}}$ Дзяленне (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{дзялімае}}}{\scriptstyle {\text{дзельнік}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{дзеліва}}}{\scriptstyle {\text{дзельнік}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{дзель}}}$ Ступеняванне (^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{аснова}}^{\text{паказчык}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{ступень}}}$ Карэняванне (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{паказчык}}]{\scriptstyle {\text{падкаранёвы выраз}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{корань}}}$ Лагарыфмаванне (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{аснова}}({\text{выраз}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{лагарыфм}}}$

Лагары́фм ліку x па аснове b (ад грэч. λόγος — «слова», «дачыненне» і ἀριθμός — «лік»^[1]) — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік b, т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне x. Запіс ${\displaystyle \log _{b}a}$ чытаецца як «лагарыфм ${\displaystyle a}$ па аснове ${\displaystyle b}$».

З азначэння вынікае, што знаходжанне ${\displaystyle x=\log _{b}a}$ раўназначнае рашэнню ўраўнення

${\displaystyle b^{x}=a.}$

Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні^[2]. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»^[3]. У прыкладаннях аснова b лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя ${\displaystyle y=\log _{b}x}$ незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

Лагарыфм ${\displaystyle x=\log _{b}a}$ па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

${\displaystyle b^{x}=a.}$

Выпадак ${\displaystyle b=1}$ не вельмі цікавы, бо пры ${\displaystyle a\neq 1}$ гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры ${\displaystyle a=1}$ любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным ${\displaystyle b}$; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі ${\displaystyle b^{x}}$ заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага ${\displaystyle a}$. Канчаткова атрымліваем^[4]:

Рэчаісны лагарыфм ${\displaystyle \log _{b}a}$ вызначаны пры ${\displaystyle b>0,b\neq 1,a>0.}$

Як вядома, паказчыкавая функцыя ${\displaystyle y=b^{x}}$ (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на ${\displaystyle b}$) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі^[5]. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:

• Натуральны: ${\displaystyle \ln x}$, аснова: лік Ойлера e.
• Дзесятковы: ${\displaystyle \lg x}$, аснова: лік 10.
• Двайковы: ${\displaystyle \log _{2}x}$ або ${\displaystyle \operatorname {lb} x}$, аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у тэорыі інфармацыі, інфарматыцы, у многіх раздзелах дыскрэтнай матэматыкі.

З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць^[6]:

• ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}$
• ${\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}$

Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі ${\displaystyle \log _{a}b=\log _{a}c}$, то ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c}}$, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: ${\displaystyle b=c.}$

• ${\displaystyle \log _{a}1=0,}$
• ${\displaystyle \log _{a}a=1.}$

• Лагарыфм здабытку:

${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$

• Лагарыфм дзелі:

${\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$

• Лагарыфм ступені:

${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$

• Лагарыфм кораня:

${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$

• Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:

${\displaystyle \log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b.}$

Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове ${\displaystyle a^{k}}$ перайсці да лагарыфма па аснове ${\displaystyle a}$.

Вынікі:

• ${\displaystyle \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;}$

  ${\displaystyle \log _{a^{k}}{b^{p}}={\frac {p}{k}}\log _{a}{b};}$

  ${\displaystyle \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b.}$

• Яшчэ адна карысная тоеснасць:

${\displaystyle c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}}$

Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове ${\displaystyle a}$, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:

${\displaystyle \log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|}$

${\displaystyle \log _{a}\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|}$

Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:

${\displaystyle \log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})}$

Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў ${\displaystyle x,y}$ з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:

1. Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў ${\displaystyle x,y}$.
2. Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку ${\displaystyle x\cdot y}$.
3. Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.

Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

• Ад лагарыфма ${\displaystyle \log _{a}b}$ па аснове ${\displaystyle a}$ можна перайсці да лагарыфма па другой аснове ${\displaystyle c}$^[4]:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

• Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю ${\displaystyle y=\log _{a}x}$. Яна вызначана пры ${\displaystyle a>0;\ a\neq 1;x>0}$.

• Абсяг вызначэння: ${\displaystyle x>0}$.
• Абсяг значэнняў: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$.

Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай^[7].

• З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}}$

• Графікі для асноў ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle 1/a}$ сіметрычныя адносна восі x.
• З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя ${\displaystyle y=\log _{a}x}$ адваротная да паказнікавай функцыі ${\displaystyle y=a^{x}}$, таму іх графікі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя трансцэндэнтная.
• Лагарыфмічная функцыя строга нарастае пры ${\displaystyle a>1}$ (гл. графікі) і строга спадае пры ${\displaystyle 0<a<1}$. Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку ${\displaystyle (1;0)}$. Функцыя непарыўная і бесканечна дыферэнцавальная ўсюды на сваім абсягу вызначэння.
• Вось ардынат ${\displaystyle (x=0)}$ з’яўляецца вертыкальнаю асімптотай для лагарыфмічнай функцыі, бо:

${\displaystyle \lim _{x\to +0}\log _{a}x=-\infty }$ пры ${\displaystyle a>1;}$

${\displaystyle \lim _{x\to +0}\log _{a}x=+\infty }$ пры ${\displaystyle 0<a<1.}$

• Вытворная лагарыфмічнай функцыі:

${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}$

• Першаісная лагарыфмічнай функцыі:

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C,}$

дзе C — адвольная сталая.

• З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) ізамарфізм групы адносна множання дадатных рэчаісных лікаў і групы адносна складання ўсіх рэчаісных лікаў. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем функцыянальнага ўраўнення^[8]:

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$

Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.

Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад ${\displaystyle x=1}$ да ${\displaystyle x=b}$, атрымліваем:

${\displaystyle \ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}.}$

Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ на названым прамежку x.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:

${\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C.}$

У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots .}$

Гэты рад збягаецца пры ${\displaystyle -1<x\leq 1.}$ У прыватнасці:

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots .}$

Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right).}$

Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так. Няхай ${\displaystyle Z}$ — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення

${\displaystyle Z={\frac {1+x}{1-x}}}$

знаходзім ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x={\frac {Z-1}{Z+1}}.}$

2) Вылічанае значэнне ${\displaystyle x}$ падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне ${\displaystyle \ln Z}$.

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы^[9].

Прывядзём некалькі карысных лімітаў, якія ўтрымліваюць лагарыфмы^[10].

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}$

${\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}$

${\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}$

• З тэарэмы Гельфонда вынікае, што калі ${\displaystyle a,b}$ — алгебраічныя лікі (${\displaystyle a\neq 1}$), то ${\displaystyle \log _{a}b}$ або рацыянальны, або трансцэндэнтны. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ толькі ў тым выпадку^[11], калі лікі ${\displaystyle a,b}$ суадносяцца як ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$.

• Сума ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ (частковая сума гарманічнага рада) пры вялікіх ${\displaystyle n}$ паводзіць сябе як ${\displaystyle \ln n+C}$, дзе ${\displaystyle C\approx 0{,}577215664\dots }$ — сталая Ойлера — Маскероні.

Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ і вызначаецца як рашэнне ${\displaystyle w}$ ураўнення ${\displaystyle e^{w}=z}$ (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, ${\displaystyle ~e^{\pi i}=-1}$; аднак таксама ${\displaystyle ~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1}$. Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам ${\displaystyle ~2\pi }$)^[12], і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя ${\displaystyle ~w=\mathrm {Ln} \,z}$ з’яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое ${\displaystyle z}$ можна прадставіць у паказальнай форме:

${\displaystyle z=r\cdot e^{i\varphi }}$

Тады ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ знаходзіцца па формуле:

${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)}$

Тут ${\displaystyle \ln \,r=\ln \,|z|}$ — рэчаісны лагарыфм, ${\displaystyle k}$ — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:

Камплексны лагарыфм ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ існуе для любога ${\displaystyle z\neq 0}$, і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае ${\displaystyle 2\pi .}$.

З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале ${\displaystyle ~(-\pi ,\pi ]}$. Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца ${\displaystyle \ln \,z}$. Часам праз ${\displaystyle \ln \,z}$ таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі ${\displaystyle z}$ — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:

${\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}$

На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да ${\displaystyle -\infty .}$

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма (${\displaystyle \ln }$) і агульны яго выраз (${\displaystyle \mathrm {Ln} }$) для некаторых аргументаў:

${\displaystyle \ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i}$

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi }$

${\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2}}\pi }$

Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

${\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }$ — відавочная памылка.

Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны (${\displaystyle k=-1}$). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці ${\displaystyle \log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b}$, якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй^[13]. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры ${\displaystyle z=1}$. Асаблівыя пункты: ${\displaystyle z=0}$ і ${\displaystyle z=\infty }$ (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай^[14] для камплекснай плоскасці без пункту ${\displaystyle 0}$.

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю камплексную плоскасць. Хай крывая ${\displaystyle \Gamma }$ пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце ${\displaystyle w}$ крывой ${\displaystyle \Gamma }$ можна вызначыць па формуле^[15]:

${\displaystyle \ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}}$

Калі ${\displaystyle \Gamma }$ — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:

${\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }$

Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на ${\displaystyle 2\pi }$. Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам ${\displaystyle ~(-\pi ,\pi ]}$. Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой ${\displaystyle \Gamma }$ перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}}$

Для любой акружнасці ${\displaystyle S}$, якая ахоплівае пункт ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i}$

Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. Радыус збежнасці абодвух радоў роўны 1.

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі^[16]:

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}$

${\displaystyle \operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})}$

${\displaystyle \operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}$

${\displaystyle \operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}$

Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам^[17]:

${\displaystyle \operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})}$ — зваротны гіпербалічны сінус

${\displaystyle \operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}$ — зваротны гіпербалічны косінус

${\displaystyle \operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)}$ — зваротны гіпербалічны тангенс

${\displaystyle \operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)}$ — зваротны гіпербалічны катангенс

З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з’явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, Carl Bremiker)^[18].

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. П. Магніцкага^[19]. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў^[20]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з’яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера^[21]. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі^[22]. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

• Камплексны лік
• Паказнікавая функцыя
• Камплексны лагарыфм
• Ступеняванне
• Лагарыфмічная лінейка
• Сістэмы злічэння
• Спіс інтэгралаў ад лагарыфмічных функцый

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (руск.). — М.: Наука, 1978.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) (руск.). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной (руск.). — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (руск.). — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
• Математика XVII столетия // История математики (руск.) / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. Архівавана 18 верасня 2011.

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Лагарыфм
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms.
• Edward Wright, Translation of Napier’s work on logarithms Архівавана 27 чэрвеня 2007..