Twierdzenie Schreiera

Twierdzenie Schreiera – twierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.

Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.

Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).

Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).

 Zobacz też: ciąg podnormalny.

Niech

${\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G\qquad (g)}$

oraz

${\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G\qquad (h)}$

oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle E}$ oznacza podgrupę trywialną).

Wówczas istnieją równoważne ciągi ${\displaystyle (g'),(h')}$ grupy ${\displaystyle G}$ będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów ${\displaystyle (g),(h).}$

 Zobacz też: prawo modularności Dedekinda i lemat Zassenhausa.

Między każdymi dwiema grupami ${\displaystyle G_{i-1}}$ a ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,\dots ,n)}$ skonstruowany zostanie z ciągu ${\displaystyle (h)}$ taki ciąg, który będzie zaczynać się od ${\displaystyle G_{i-1}}$ i kończyć na ${\displaystyle G_{i}.}$ Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu ${\displaystyle (h)}$ przez ${\displaystyle G_{i-1}}$ (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ${\displaystyle G_{i-1}}$) oraz przecięcie iloczynów z ${\displaystyle G_{i}}$ (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na ${\displaystyle G_{i}}$); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów ${\displaystyle (h)}$ z ${\displaystyle G_{i}}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na ${\displaystyle G_{i}}$) i pomnożenie przecięć przez ${\displaystyle G_{i-1}}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ${\displaystyle G_{i-1}}$) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między ${\displaystyle G_{i-1}}$ a ${\displaystyle G_{i}}$ są identyczne.

Niech ${\displaystyle G_{ij}=G_{i-1}H_{j}\cap G_{i}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})}$ i podobnie ${\displaystyle H_{ij}=H_{j-1}G_{i}\cap H_{j}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})}$ (${\displaystyle i=1,2,\dots ,n;}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,m}$). Ponieważ ${\displaystyle G_{i-1}\trianglelefteq G_{i},}$ to ${\displaystyle G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\leqslant G_{i}}$ (jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób ${\displaystyle G_{ij}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G_{i}}$ i podobnie ${\displaystyle H_{ij}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H_{i}.}$ Dlatego

${\displaystyle G_{i-1}=G_{i0}\leqslant G_{i1}\leqslant G_{i2}\leqslant \dots \leqslant G_{i\,m-1}\leqslant G_{im}=G_{i}\qquad (g_{i})}$

oraz

${\displaystyle H_{j-1}=H_{0j}\leqslant H_{1j}\leqslant H_{2j}\leqslant \dots \leqslant H_{n-1\,j}\leqslant H_{nj}=H_{j}\qquad (h_{i}).}$

Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach ${\displaystyle A=G_{i},\ B=G_{i-1},\ C=H_{j},\ D=H_{j-1}}$) otrzymuje się, dla każdego ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n;}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,m{:}}$

${\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\trianglelefteq G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j}),\quad H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j})\trianglelefteq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})}$

oraz

${\displaystyle G_{i-1}(G_{i}\cap H)/G_{i-1}(G_{i}\cap H_{j-1})\simeq H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})/H_{j-1}(G_{i-1}\cap H_{j}).}$

Zatem ${\displaystyle G_{i\,j-1}\trianglelefteq G_{ij},\ H_{i-1\,j}\trianglelefteq H_{ij}}$ oraz ${\displaystyle G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}.}$ Stąd ${\displaystyle (g_{i})}$ jest ciągiem między ${\displaystyle G_{i-1}}$ a ${\displaystyle G_{i},}$ a ${\displaystyle (h_{j})}$ jest ciągiem między ${\displaystyle H_{j-1}}$ oraz ${\displaystyle H_{j}.}$ Zapisując kolejno wyrazy ${\displaystyle (g_{1}),(g_{2}),\dots ,(g_{n})}$ otrzymuje się ciąg ${\displaystyle (g')}$ grupy ${\displaystyle G}$ o ${\displaystyle nm}$ ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy ${\displaystyle (h_{1}),(h_{2}),\dots ,(h_{m})}$ otrzymuje się ciąg ${\displaystyle (h')}$ grupy ${\displaystyle H}$ o ${\displaystyle mn}$ ilorazach. Ciąg ${\displaystyle (g')}$ jest zagęszczeniem ${\displaystyle (g),}$ a ${\displaystyle (h')}$ jest zagęszczeniem ${\displaystyle (h).}$ Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów ${\displaystyle G_{ij}/G_{i\,j-1}\simeq H_{ij}/H_{i-1\,j}}$ ciągi ${\displaystyle (g')}$ i ${\displaystyle (h')}$ są równoważne.

• grupa policykliczna
• hipoteza Schreiera
• lemat Goursata

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce