Łączność (matematyka)

Łączność, asocjatywność^[1] – własność niektórych działań dwuargumentowych zdefiniowana odpowiednią równością, podaną niżej. Łączność dotyczy części działań arytmetycznych jak dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych^[1], a także niektórych działań na liczbach zespolonych, hiperzespolonych, wektorach, ciągach, innych funkcjach, innych relacjach dwuargumentowych, innych zbiorach i na macierzach.

Łączność dodawania i mnożenia to twierdzenia nauczane w polskich szkołach podstawowych, umieszczone w podstawie programowej kursów matematyki^[2].

W algebrze abstrakcyjnej łączność definiuje podstawowe struktury algebraiczne jak:

• grupy^[3] i ich uogólnienia jak monoidy^[4], półgrupy^[5] i kategorie;
• ciała^[6] i ich uogólnienia jak pierścienie^[7] i półpierścienie^[8][9];
• algebry Boole’a^[10] i ogólniejsze kraty^[11], półkraty^[12] oraz pasy^[13].

Równość analogiczna do tej opisującej łączność pojawia się też w definicji przestrzeni liniowych^[14] i także bywa nazywana łącznością^[15][16].

Nazwę łączności wprowadził William Rowan Hamilton w I połowie XIX wieku^[17].

Niech symbol karo ${\displaystyle \diamondsuit }$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle \diamondsuit :X^{2}\to X.}$ Działanie to nazywa się łącznym, jeśli dla wszystkich trójek elementów ${\displaystyle a,b,c\in X}$ zachodzi równość:

${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)\diamondsuit c.}$

Działanie, które nie jest łączne, nazywa się niełącznym.

Łączność działania znaczy, że kolejność wykonywania obliczeń, tzn. rozstawienie nawiasów (zgodne ze składnią) nie ma wpływu na wynik. Np. dla dowolnych czterech argumentów ${\displaystyle a,b,c,d}$ zachodzą równości:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\big (}a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c){\big )}\;\diamondsuit \;d\\={}&{\big (}(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c{\big )}\;\diamondsuit \;d\\={}&(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d)\\={}&a\;\diamondsuit \;{\big (}b\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d){\big )}\\={}&a\;\diamondsuit \;{\big (}(b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d{\big )}.\end{aligned}}}$

(1)

W efekcie umożliwia to notację beznawiasową, tzn. każde z powyższych pięciu wyrażeń można zapisać w postaci:

${\displaystyle a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c\;\diamondsuit \;d.}$

W wyrażeniu tym można więc wykonać najpierw działanie wskazane przez dowolny z trzech operatorów ${\displaystyle \diamondsuit }$ na sąsiadujących z nim operandach, a potem wykonywać działanie wskazane przez następny, dowolnie wybrany operator na sąsiadujących z nim operandach, itd.

• dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych^[1], zespolonych^[21] oraz kwaternionów^[22][23];
• rzut pary uporządkowanej na lewy element^[24]: ${\displaystyle (a,b)\mapsto a;}$
• suma zbiorów^[18], przekrój zbiorów^[19] i ich różnica symetryczna^[20];
• konkatenacja skończonych ciągów, zwanych też krotkami^[25];
• złożenie funkcji^[26];
• złożenie relacji dwuargumentowych^[27][28];
• dodawanie macierzy o ustalonych wymiarach^[29];
• mnożenie macierzy kwadratowych^[29].

Najczęściej stosowana jest notacja z lewostronną łącznością (np. niełączne działania arytmetyczne), co wiąże się z powszechną praktyką zapisywania (i odczytywania) od lewej tekstu lub wyrażeń arytmetycznych, z kolejnością wprowadzania od lewej wyrażeń do kalkulatorów itd.

• odejmowanie jest niełączne, bo np. ${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2;}$

dla odejmowania stosuje się domyślne notację lewostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 5-3-2=(5-3)-2=0,}$

• dzielenie jest niełączne, bo np. ${\displaystyle 18:(6:3)\neq (18:6):3;}$

dla dzielenia stosuje się domyślne notację lewostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 18:6:3=(18:6):3=1.}$

• potęgowanie jest niełączne^[1], bo np. ${\displaystyle (4^{3})^{2}\neq 4^{(3^{2})};}$

dla potęgowania stosuje się domyślnie notację prawostronnie łączną, tj.

${\displaystyle 4^{3^{2}}=4^{(3^{2})}=4^{9}=262144.}$

• różnica zbiorów^[30] – przykładowo:

${\displaystyle (A\backslash A)\backslash A=\emptyset \backslash A=\emptyset ,}$

${\displaystyle A\backslash (A\backslash A)=A\backslash \emptyset =A;}$

• iloczyn wektorowy w trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})}$^[31]:

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}};}$

• mnożenie w oktawach Cayleya:

dla takich struktur jak np. oktawy Cayleya nie stosuje się żadnej notacji upraszczającej stosowanie nawiasów,

• komutator w grupach i pierścieniach:

nawiasy komutatora ${\displaystyle [,]}$ pełnią rolę operatora i są nieusuwalne.

Jeśli działanie jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny^[32]:

${\displaystyle a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e=a\diamondsuit b'=b'\diamondsuit a\Rightarrow }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b'&=b'\diamondsuit e=b'\diamondsuit (a\diamondsuit b)=\\&=(b'\diamondsuit a)\diamondsuit b=e\diamondsuit b=b.\end{aligned}}}$

Łączność jest niezależna od przemienności – działanie może mieć obie te własności, ale może mieć tylko jedną z nich lub nie mieć żadnej z nich^[33].

• w notacji funkcyjnej:

${\displaystyle \forall a,b,c\in X:f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c),}$

• w notacji przedrostkowej (beznawiasowej):

${\displaystyle \forall a,b,c\in X:\diamondsuit \,a\,\diamondsuit \,b\,c=\diamondsuit \,\diamondsuit \,a\,b\,c,}$

• w notacji przyrostkowej (beznawiasowej):

${\displaystyle \forall a,b,c\in X:a\,b\,c\,\diamondsuit \,\diamondsuit =a\,b\,\diamondsuit \,c\,\diamondsuit .}$

Dla powyższych trzech notacji reguła pozwalająca pomijać nawiasy w wyrażeniach z działaniem łącznym nie ma zastosowania – w pierwszej nawiasy są nieusuwalne (jest to w istocie odmiana notacji przedrostkowej), w następnych dwóch nawiasy są całkowicie zbędne, należy jedynie odpowiednio zamieniać miejscami symbole działania i ich argumentów (zob. zapis działań dwuargumentowych).

Np. wyrażenia (1) w notacji przedrostkowej mają postać

${\displaystyle {\begin{aligned}&\diamondsuit \diamondsuit a\diamondsuit bcd\\[1ex]={}&\diamondsuit \diamondsuit \diamondsuit abcd\\[1ex]={}&\diamondsuit \diamondsuit ab\diamondsuit cd\\[1ex]={}&\diamondsuit a\diamondsuit b\diamondsuit cd\\[1ex]={}&\diamondsuit a\diamondsuit \diamondsuit bcd.\end{aligned}}}$

W notacji wrostkowej dla działania niełącznego każde dwa argumenty (także te złożone) muszą być razem z operatorem objęte parą nawiasów (z wyjątkiem oczywiście najbardziej zewnętrznej pary argumentów). W notacji tej wszystkie nawiasy są niezbędne dla określenia kolejności wykonywanych działań. Przy większej ilości argumentów wyrażenia stają się przez to nieczytelne, np.:

${\displaystyle {\big (}a\;\diamondsuit \;((b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d){\big )}\;\diamondsuit \;(e\;\diamondsuit \;f).}$

(2)

W notacji przedrostkowej powyższe wyrażenie ma postać ${\displaystyle \diamondsuit \diamondsuit a\diamondsuit \diamondsuit bcd\diamondsuit ef,}$ w notacji przyrostkowej ${\displaystyle abc\diamondsuit d\diamondsuit \diamondsuit ef\diamondsuit \diamondsuit .}$ W obu tych notacjach łączność lub niełączność działania nie ma oczywiście większego znaczenia, bowiem mimo braku nawiasów kolejność wykonywania działań jest „zakodowana” w wyrażeniu i jest możliwa do odtworzenia dzięki regułom tworzenia takich wyrażeń. Brak nawiasów nieco upraszcza zapis i przyczynia się do zwiększenia czytelności.

Ilość nawiasów notacji wrostkowej można zmniejszyć (a tym samym nieco uprościć zapis), wprowadzając notację z łącznością jednostronną. Oznacza to wybór jednej z dwóch możliwych kolejności usuwania nawiasów w wyrażeniu:

• w lewostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: ${\displaystyle (a\diamondsuit b)\diamondsuit c=a\diamondsuit b\diamondsuit c}$ i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c),}$
• w prawostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=a\diamondsuit b\diamondsuit c}$ i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu ${\displaystyle (a\diamondsuit b)\diamondsuit c.}$

Oczywiście kolejność usuwania nawiasów w notacji z jednostronną łącznością jest równoznaczne z odwrotną kolejnością ich przywracania (nawiasy domyślne). Np. wyrażenie ${\displaystyle a\diamondsuit b\diamondsuit c\diamondsuit d}$

• w notacji z łącznością lewostronną jest równoznaczne z wyrażeniem ${\displaystyle {\big (}(a\diamondsuit b)\diamondsuit c{\big )}\diamondsuit d,}$ czyli działania są wykonywane od lewej;
• w notacji z łącznością prawostronną jest równoznaczne z wyrażeniem ${\displaystyle a\diamondsuit {\big (}b\diamondsuit (c\diamondsuit d){\big )},}$ czyli działania są wykonywane od prawej.

Stosując notację z lewostronną łącznością, wyrażenie (2) uprości się do postaci ${\displaystyle a\diamondsuit (b\diamondsuit c\diamondsuit d)\diamondsuit (e\diamondsuit f),}$ z prawostronną do postaci ${\displaystyle (a\diamondsuit (b\diamondsuit c)\diamondsuit d)\diamondsuit e\diamondsuit f.}$

Notacja z jednostronną łącznością jest więc odmianą notacji wrostkowej, w której niektóre nawiasy można pominąć. Dla każdego działania binarnego niełącznego wybór notacji z lewostronną lub prawostronną łącznością jest całkowicie dowolny i arbitralny, ale raz dokonany wybór dla danego działania musi być utrzymany dla zachowania jednoznaczności wartościowania wyrażenia. Inaczej mówiąc, działanie binarne niełączne nie jest ani lewostronnie, ani prawostronnie łączne. Stwierdzenie, że jakieś działanie jest lewo/prawostronnie łączne oznacza, że wobec tego działania stosuje się notację wrostkową odpowiednio z lewo/prawostronną łącznością.

• Test łączności Lighta

• Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.

• Krzysztof Kwiecień, Łączność mnożenia, kanał Khan Academy na YouTube, 24 lutego 2018 [dostęp 2024-09-19].
• Associativity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-19].