Lemat Goursata

Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: lemat Cauchy’ego-Goursata w analizie zespolonej.

Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku^[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

• wzięcie podgrupy ${\displaystyle H}$ danej grupy ${\displaystyle G,}$
• wzięcie ilorazu ${\displaystyle G/H}$ (gdzie ${\displaystyle H}$ jest podgrupą normalną) oraz
• wzięcie iloczynu prostego ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ dwóch grup ${\displaystyle G_{1}}$ oraz ${\displaystyle G_{2}.}$

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa ${\displaystyle L}$ w ${\displaystyle H}$ jest po prostu podgrupą ${\displaystyle L}$ w ${\displaystyle G}$ zawartą w ${\displaystyle H}$ (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy ${\displaystyle G/H}$ mają postać ${\displaystyle J/H,}$ gdzie ${\displaystyle J}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$ dla której ${\displaystyle H\subseteq J\subseteq G}$ (co więcej, ${\displaystyle J/H\trianglelefteq G/H}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle J\trianglelefteq G}$). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy ${\displaystyle G_{1}}$ oraz ${\displaystyle G_{2}}$ znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}.}$

Iloczyn prosty ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ danych grup ${\displaystyle G_{1}}$ i ${\displaystyle G_{2}}$ to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane ${\displaystyle \{(g_{1},g_{2})\colon g_{i}\in G_{i}\}}$ z mnożeniem określonym po współrzędnych: ${\displaystyle (g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2});}$ elementem neutralnym jest ${\displaystyle (e_{1},e_{2}),}$ a element odwrotny to ${\displaystyle (g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1}).}$ Jeśli ${\displaystyle H_{i}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G_{i},}$ to ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$^[a] nazywaną dalej podiloczynem; więcej ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ jest normalna w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda ${\displaystyle H_{i}\trianglelefteq G_{i}}$^[b].

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup ${\displaystyle G_{1}}$ i ${\displaystyle G_{2}}$ mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ jest podiloczynem w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie

Niech ${\displaystyle G_{1}}$ oraz ${\displaystyle G_{2}}$ będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle g_{i}\in G_{i}}$ mają skończone, względnie pierwsze rzędy^[c].

wykorzystujące poniższy

Lemat

Niech ${\displaystyle G_{1}}$ oraz ${\displaystyle G_{2}}$ będą nietrywialnymi grupami. Wówczas ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G_{1}}$ i ${\displaystyle G_{2}}$ są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach^[d].

Niech ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ będą grupami.

1. Niech ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}.}$ Niech ${\displaystyle H_{11}=\{a\in G_{1}\colon (a,e_{2})\in H\},}$ ${\displaystyle H_{21}=\{b\in G_{2}\colon (e_{1},b)\in H\}}$ oraz ${\displaystyle H_{12}=\{a\in G_{1}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}b\in G_{2}\},}$ ${\displaystyle H_{22}=\{b\in G_{2}\colon (a,b)\in H{\text{ dla pewnego }}a\in G_{1}\}.}$

   Wówczas ${\displaystyle H_{i1}\subseteq H_{i2}}$ są podgrupami w ${\displaystyle G_{i},}$ dla których ${\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},}$ a odwzorowanie ${\displaystyle \varphi _{H}\colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}}$ dane wzorem ${\displaystyle \varphi _{H}(aH_{11})=bH_{21},}$ gdzie ${\displaystyle (a,b)\in H,}$ jest izomorfizmem.

   Co więcej: jeśli ${\displaystyle H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2},}$ to ${\displaystyle H_{i1},H_{i2}\triangleleft G_{i}}$ oraz ${\displaystyle H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1}),}$ centrum ${\displaystyle G_{i}/H_{i1}.}$

2. Niech ${\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2}}$ będą podgrupami w ${\displaystyle G_{i}}$ i niech ${\displaystyle \varphi \colon H_{12}/H_{11}\to H_{22}/H_{21}}$ będzie izomorfizmem.

   Wówczas ${\displaystyle H={\big \{}(a,b)\in H_{12}\times H_{22}\colon \varphi (aH_{11})=bH_{21}{\big \}}}$ jest podgrupą ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}.}$

   Zakładając ponadto ${\displaystyle H_{i1},H_{i2}\trianglelefteq G}$ oraz ${\displaystyle H_{i2}/H_{i1}\subseteq \mathrm {Z} (G_{i}/H_{i1})}$ otrzymuje się ${\displaystyle H\trianglelefteq G_{1}\times G_{2}.}$

3. Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

W literaturze^[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą w ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ z kanonicznymi rzutami ${\displaystyle \pi _{i}\colon H\to G_{i}}$ o jądrach ${\displaystyle N_{i},}$ dzięki którym można utożsamić ${\displaystyle N_{i}}$ z podgrupą normalną w ${\displaystyle G_{i}.}$ Wówczas obraz ${\displaystyle H}$ w ${\displaystyle G_{1}/N_{1}\times G_{2}/N_{2}}$ jest wykresem izomorfizmu ${\displaystyle G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}.}$

 Zobacz też: lemat Zassenhausa.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą, a ${\displaystyle B\trianglelefteq A}$ oraz ${\displaystyle D\trianglelefteq C}$ będą jej podgrupami. Wówczas ${\displaystyle B(A\cap D)\trianglelefteq B(A\cap C),}$ ${\displaystyle D(B\cap C)\trianglelefteq D(A\cap C),}$ a grupy ilorazowe ${\displaystyle B(A\cap C)/B(A\cap D)}$ oraz ${\displaystyle D(A\cap C)/D(B\cap C)}$ są izomorficzne.

Dowód

Zbiór ${\displaystyle H=\{(bc,dc)\in G\times G\colon b\in B,d\in D,c\in A\cap C\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G\times G}$^[e]. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest ${\displaystyle H_{12}=B(A\cap C)}$ oraz ${\displaystyle H_{22}=D(A\cap C)}$ (co pokazuje, że są one grupami w ${\displaystyle G}$), ponadto ${\displaystyle H_{11}=\{ac\colon a\in B,c\in A\cap D\}=B(A\cap D)}$ i podobnie ${\displaystyle H_{21}=D(B\cap C).}$ Zatem skoro ${\displaystyle H_{i1}\trianglelefteq H_{i2},}$ to ${\displaystyle B(A\cap D)}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle B(A\cap C),}$ ${\displaystyle D(B\cap C)}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle D(A\cap C)}$ i stąd ${\displaystyle H_{12}/H_{11}}$ oraz ${\displaystyle H_{22}/H_{21}}$ są izomorficzne, co kończy dowód.