Logaritmus

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

x=a^{y}\,

a označujeme ho symbolicky

y=\log _{a}x\,

,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

y=\log _{a}x\,

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval $\left(0;\infty \right)$ , obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

klesajúca, ak $a\in \left(0,1\right)$
rastúca, ak $a\in \left(1,\infty \right)$

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi $\left[1;0\right]$ a $\left[a;1\right]$ .

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus' (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

y=\log x

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

y=\ln x

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

y=\lg x

Špeciálne základy

Prirodzený logaritmus

Graf prirodzeného logaritmu y = ln x (zelená línia)

Prirodzený logaritmus alebo Napierov logaritmus (podľa Johna Napiera) je taký logaritmus, ktorý ma základ e (Eulerovo číslo).

Skrátený zápis:

y=\ln x

Niekde sa môžete stretnúť aj so zápisom

y=\ln _{e}x\,

alebo

y=\log _{e}x\,

Vlastnosti

Pre $a,x,y>0,a\neq 1,r\in \mathbb {R}$ platí:

$\log _{a}a^{x}=a^{\log _{a}x}=x,$

$\log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}xy,\,$

$\log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}$

$\log _{a}x^{r}=r\log _{a}x\,$

$\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$ , kde $b>0,b\neq 1$

Externé odkazy

Logaritmická funkcia