1. Многочленом Тейлора функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
вещественной переменной
x
{\displaystyle x}
дифференцируемой
k
{\displaystyle k}
a
{\displaystyle a}
∑
n
=
0
k
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
(
2
)
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
используемая в приближённых вычислениях , как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:
при
x
−
a
=
h
→
0
{\displaystyle x-a=h\to 0}
f
(
x
)
=
f
(
a
+
h
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
⋅
h
+
O
(
h
2
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
⋅
h
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
⋅
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)}
При записи суммы использованы обозначение
f
(
0
)
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
(
x
−
a
)
0
=
1
{\displaystyle (x-a)^{0}=1}
2. Рядом Тейлора в точке
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
формальный степенной ряд
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
∑
n
=
0
+
∞
φ
n
(
x
;
a
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)}
φ
n
(
x
;
a
)
=
f
(
n
)
(
a
)
n
!
⋅
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}}
a
{\displaystyle a}
Другими словами, рядом Тейлора функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
…
{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,}
[ 3] Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
3. Рядом Тейлора в точке
a
{\displaystyle a}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
U
⊆
C
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
a
{\displaystyle a}
условиям Коши — Римана ,
называется степенной ряд
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}
В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса
R
>
0
{\displaystyle R>0}
D
R
=
{
z
∈
C
:
|
z
−
z
0
|
<
R
}
⊆
U
{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
4. В случае
a
=
0
{\displaystyle a=0}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
называется рядом Маклорена .
1. Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
аналитической в точке
x
=
a
{\displaystyle x=a}
R
>
0
{\displaystyle R>0}
c
k
=
c
k
(
a
)
=
c
k
(
a
;
f
)
{\displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,}
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle k=0,1,2,\dots \,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(
a
−
R
;
a
+
R
)
{\displaystyle (a-R;a+R)}
∑
k
=
0
+
∞
c
k
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,}
∀
x
∈
(
a
−
R
;
a
+
R
)
{\displaystyle \forall x\in (a-R;a+R)}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
lim
n
→
+
∞
∑
k
=
0
n
c
k
(
x
−
a
)
k
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}
Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).
2. Степенной ряд
∑
k
=
0
+
∞
c
k
(
z
−
a
)
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}
подмножестве
K
{\displaystyle K}
D
R
=
{
z
∈
C
:
|
z
−
z
0
|
<
R
}
{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}
Если в
k
{\displaystyle k}
∑
k
=
0
+
∞
c
k
(
z
−
a
)
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}
z
=
a
{\displaystyle z=a}
c
k
⋅
k
!
{\displaystyle {c_{k}}\cdot k!}
Таким образом, для аналитической в точке
a
{\displaystyle a}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
R
>
0
{\displaystyle R>0}
D
R
=
{
z
∈
C
:
|
z
−
z
0
|
<
R
}
{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
+
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
z
−
a
)
k
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}
Следствие. Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
∑
k
=
0
+
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(
a
−
R
;
a
+
R
)
{\displaystyle (a-R;a+R)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
a
{\displaystyle a}
Примеры. Функции вещественной переменной
f
2
(
x
)
=
{
e
−
1
x
2
,
x
≠
0
0
,
x
=
0
{\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
f
+
(
x
)
=
{
e
−
1
x
,
x
>
0
0
,
x
≤
0
{\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,}
f
v
(
x
)
=
{
e
−
1
|
x
|
,
x
≠
0
0
,
x
=
0
{\displaystyle f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром
a
=
0
{\displaystyle a=0}
R
>
0
{\displaystyle R>0}
(
−
R
;
+
R
)
{\displaystyle (-R;+R)}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
0
{\displaystyle 0}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
Доказательство проведём для функции
f
(
x
)
=
f
2
(
x
)
=
{
e
−
1
x
2
,
x
≠
0
0
,
x
=
0
{\displaystyle f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
Огюстеном Луи Коши .
Функция
exp
(
−
1
z
2
)
{\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}
z
∈
C
¯
∖
{
0
}
{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}
Для
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
d
d
z
exp
(
−
1
z
2
)
=
exp
(
−
1
z
2
)
⋅
(
2
z
3
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)}
Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
exp
(
−
1
x
2
)
{\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}
x
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
lim
x
→
0
,
x
<
0
exp
(
−
1
x
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}
lim
x
→
0
,
x
>
0
exp
(
−
1
x
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Найдём производную функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
f
′
(
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
,
Δ
x
∈
R
∖
{
0
}
f
(
0
+
Δ
x
)
−
f
(
0
)
Δ
x
=
lim
h
→
0
,
h
∈
R
∖
{
0
}
f
(
h
)
−
0
h
=
0
0
=
lim
h
→
0
,
h
∈
R
∖
{
0
}
f
′
(
h
)
h
′
=
lim
h
→
0
,
h
∈
R
∖
{
0
}
2
f
(
h
)
h
3
{\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}
Поскольку для
x
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle x\in (0;1)}
0
<
e
−
1
x
2
<
e
−
1
x
{\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
lim
x
→
0
,
x
>
0
e
−
1
x
x
α
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0}
Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
lim
x
→
0
,
x
>
0
e
−
1
x
=
lim
x
→
0
,
x
>
0
x
α
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0}
Выполним замену переменной:
1
x
=
t
{\displaystyle {\frac {1}{x}}=t}
lim
x
→
0
,
x
>
0
e
−
1
x
x
α
=
lim
t
→
+
∞
t
α
e
t
=
+
∞
+
∞
=
lim
t
→
+
∞
α
t
α
−
1
e
t
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}}
Пусть
k
=
⌈
α
⌉
{\displaystyle k=\lceil \alpha \rceil }
k
{\displaystyle k}
α
=
k
{\displaystyle \alpha =k}
k
!
{\displaystyle k!}
α
<
k
{\displaystyle \alpha <k}
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
k
+
1
)
t
α
−
k
{\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}
lim
t
→
+
∞
t
α
e
t
=
+
∞
+
∞
=
…
=
lim
t
→
+
∞
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
k
+
1
)
t
α
−
k
e
t
=
0
{\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0}
Таким образом,
f
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
,
h
∈
R
∖
{
0
}
2
f
(
h
)
h
3
=
0
{\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0}
Найдём (для
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
=
2
f
(
x
)
x
3
{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}}
f
″
(
x
)
=
(
2
f
(
x
)
x
3
)
′
=
2
(
f
′
(
x
)
1
x
3
+
f
(
x
)
(
1
x
3
)
′
)
=
2
(
2
f
(
x
)
x
3
1
x
3
+
f
(
x
)
(
1
x
3
)
′
)
=
2
f
(
x
)
(
2
x
6
−
3
x
4
)
{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}
f
‴
(
x
)
=
(
2
f
(
x
)
(
2
x
6
−
3
x
4
)
)
′
=
4
f
(
x
)
(
2
x
9
−
3
x
7
+
6
x
5
−
6
x
7
)
{\displaystyle f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)}
И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
lim
x
→
0
,
x
∈
R
∖
{
0
}
f
(
k
)
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0}
Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса .
править
Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
1. Например, функция
f
(
x
)
=
1
1
−
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}
1
1
−
x
=
∑
k
=
0
∞
x
k
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}
1
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
∑
k
=
0
∞
x
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:
R
=
lim
k
→
∞
|
f
(
k
)
(
a
)
k
!
f
(
k
+
1
)
(
a
)
(
k
+
1
)
!
|
=
lim
k
→
∞
|
f
(
k
)
(
a
)
f
(
k
+
1
)
(
a
)
(
k
+
1
)
|
{\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|}
3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию
e
x
{\displaystyle e^{x}}
R
=
lim
k
→
∞
|
e
a
e
a
(
k
+
1
)
|
=
lim
k
→
∞
(
k
+
1
)
=
∞
{\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty }
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
Например, разложим в общем случае (для произвольного
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
=
1
1
−
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}
f
(
x
)
=
1
1
−
x
=
1
1
−
a
∑
k
=
0
∞
(
x
−
a
1
−
a
)
k
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}}
Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
Действительно,
1
1
−
a
∑
k
=
0
∞
(
x
−
a
1
−
a
)
k
=
1
1
−
a
⋅
1
1
−
(
x
−
a
1
−
a
)
=
1
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}}
Область сходимости ряда может быть задана неравенством
|
x
−
a
1
−
a
|
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1}
a
{\displaystyle a}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
x
∈
(
−
1
;
1
)
{\displaystyle x\in (-1;1)}
a
=
0
,
5
{\displaystyle a=0{,}5}
x
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle x\in (0;1)}
Предположим, что функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
n
(
x
)
{\displaystyle {P_{n}}(x)}
n
{\displaystyle n}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
{\displaystyle n}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид
P
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle {P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}}
n
{\displaystyle n}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
P
n
(
x
)
{\displaystyle {P_{n}}(x)}
R
n
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
{\displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)}
f
(
x
)
=
P
n
(
x
)
+
R
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)}
[ 4]
n
+
1
{\displaystyle n+1}
a
{\displaystyle a}
дифференциальном исчислении .
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Если функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
производную на отрезке с концами
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
ξ
{\displaystyle \xi }
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
(
x
−
a
x
−
ξ
)
p
(
x
−
ξ
)
n
+
1
n
!
p
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).}
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша
В форме Лагранжа :
R
n
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
[
a
+
θ
(
x
−
a
)
]
p
=
n
+
1
;
0
<
θ
<
1
{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}
В форме Коши :
R
n
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
1
−
θ
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
[
a
+
θ
(
x
−
a
)
]
p
=
1
;
0
<
θ
<
1
{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}
В интегральной форме:
R
n
(
x
)
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
{\displaystyle R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt}
Методом интегрирования по частям получим
R
n
(
x
)
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
d
f
(
n
)
(
t
)
=
1
n
!
(
(
x
−
t
)
n
f
(
n
)
(
t
)
)
|
a
x
−
1
n
!
∫
a
x
f
(
n
)
(
t
)
d
(
x
−
t
)
n
=
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
n
)
(
t
)
d
t
−
(
x
−
a
)
n
f
(
n
)
(
a
)
n
!
=
.
.
.
=
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
−
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
=
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
{\displaystyle {\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}}
откуда
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
+
R
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)}
Ослабим предположения:
Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
В асимптотической форме (форме Пеано , локальной форме):
R
n
(
x
)
=
o
[
(
x
−
a
)
n
]
{\displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}
Поскольку
R
n
(
a
)
=
R
n
(
a
)
′
=
R
n
(
a
)
″
=
.
.
.
=
R
n
(
a
)
(
n
)
=
0
{\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0}
R
n
(
x
)
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle {\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
R
n
(
x
)
(
x
−
a
)
n
=
lim
x
→
a
R
n
(
x
)
′
(
(
x
−
a
)
n
)
′
=
lim
x
→
a
R
n
(
x
)
″
(
(
x
−
a
)
n
)
″
=
.
.
.
=
lim
x
→
a
R
n
(
x
)
(
n
)
(
(
x
−
a
)
n
)
(
n
)
=
R
n
(
a
)
(
n
)
n
!
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}={\frac {{R_{n}}{{(a)}^{(n)}}}{n!}}=0}
Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)}
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle (x-a)^{n}}
x
→
a
{\displaystyle x\to a}
править
Предположим, что некоторую функцию
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
lim
n
→
∞
R
n
(
x
)
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
)
=
f
(
x
)
−
lim
n
→
∞
P
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}
lim
n
→
∞
P
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}
Очевидно, что функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
X
{\displaystyle X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
n
{\displaystyle n}
lim
n
→
∞
R
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0}
В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию
e
x
{\displaystyle e^{x}}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид
R
n
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
e
ξ
n
{\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}}
ξ
n
{\displaystyle \xi _{n}}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
lim
n
→
∞
R
n
(
x
)
=
lim
n
→
∞
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
e
ξ
n
≤
M
⋅
lim
n
→
∞
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0}
Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом
M
{\displaystyle M}
Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
править
Экспонента :
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
,
x
∈
C
.
{\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .}
Натуральный логарифм («ряд Меркатора »):
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
n
+
1
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
{\displaystyle \displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}}
−
1
<
x
≤
1.
{\displaystyle -1<x\leq 1.}
Биномиальное разложение :
(
1
+
x
)
α
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
α
n
)
x
n
,
{\displaystyle \displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},}
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle \displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
биномиальные коэффициенты .
Квадратный корень [ 6]
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
⋅
1
2
⋅
4
x
2
+
1
⋅
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
6
x
3
−
1
⋅
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
8
x
4
+
1
⋅
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
2
⋅
4
⋅
6
⋅
8
⋅
10
x
5
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
(
2
n
)
!
2
2
n
(
2
n
−
1
)
(
n
!
)
2
x
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
(
2
n
+
1
)
(
2
n
−
1
)
x
n
{\displaystyle \displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}}
|
x
|
≤
1.
{\displaystyle |x|\leq 1.}
Обратный квадратный корень[ 6]
1
1
+
x
=
1
−
1
2
x
+
1
⋅
3
2
⋅
4
x
2
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
x
3
+
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
2
⋅
4
⋅
6
⋅
8
x
4
−
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
⋅
9
2
⋅
4
⋅
6
⋅
8
⋅
10
x
5
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
(
2
n
+
1
)
x
n
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}}
−
1
<
x
≤
1.
{\displaystyle -1<x\leq 1.}
Геометрические ряды [англ.] *
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
{\displaystyle {\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}}
|
x
|
<
1.
{\displaystyle |x|<1.}
1
(
1
−
x
)
2
=
1
+
2
x
+
3
x
2
+
4
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}}
|
x
|
<
1.
{\displaystyle |x|<1.}
1
(
1
−
x
)
3
=
1
+
3
x
+
6
x
2
+
10
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
2
∞
(
n
−
1
)
n
2
x
n
−
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}}
|
x
|
<
1.
{\displaystyle |x|<1.}
Конечный геометрический ряд:
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
{\displaystyle \displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}}
x
≠
1
,
m
∈
N
0
.
{\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.}
Тригонометрические функции [ 6] [ 7] Синус:
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
x
9
9
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
,
x
∈
C
.
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}
Косинус:
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
x
8
8
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
x
∈
C
.
{\displaystyle \displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}
Тангенс:
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}
|
x
|
<
π
2
,
{\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},}
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
числа Бернулли .
Котангенс:
ctg
x
=
x
−
1
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}
0
<
|
x
|
<
π
,
{\displaystyle 0<|x|<\pi ,}
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
числа Бернулли .
Секанс:
sec
x
=
1
+
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+
61
720
x
6
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}
|
x
|
<
π
2
,
{\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},}
E
2
n
{\displaystyle E_{2n}}
числа Эйлера .
Косеканс:
cosec
x
=
x
−
1
+
1
6
x
+
7
360
x
3
+
31
15120
x
5
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}
0
<
|
x
|
<
π
,
{\displaystyle 0<|x|<\pi ,}
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
числа Бернулли . Обратные тригонометрические функции [ 6] [ 8] Арксинус:
arcsin
x
=
x
+
1
2
⋅
3
x
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
5
x
5
+
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
7
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
+
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
2
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
2
n
+
1
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
[ 9]
Арккосинус:
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
x
−
1
2
⋅
3
x
3
−
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
5
x
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
7
x
7
−
⋯
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
+
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
2
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
2
n
+
1
2
n
+
1
{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}
|
x
|
≤
1.
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}
Арктангенс:
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
−
1
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}
|
x
|
≤
1.
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}
Арккотангенс:
arcctg
x
=
π
2
−
arctg
x
=
π
2
−
x
+
x
3
3
−
x
5
5
+
x
7
7
−
⋯
=
π
2
−
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
−
1
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}
|
x
|
≤
1.
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}
Гиперболические функции [ 6] [ 10] Гиперболический синус:
sh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
,
x
∈
C
.
{\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}
Гиперболический косинус:
ch
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
,
x
∈
C
.
{\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}
Гиперболический тангенс:
th
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}
|
x
|
<
π
2
.
{\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.}
Гиперболический котангенс:
cth
x
=
x
−
1
+
1
3
x
−
1
45
x
3
+
2
945
x
5
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}
0
<
|
x
|
<
π
.
{\displaystyle 0<|x|<\pi .}
Гиперболический секанс:
sech
x
=
1
−
1
2
x
2
+
5
24
x
4
−
61
720
x
6
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}
|
x
|
<
π
2
.
{\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.}
Гиперболический косеканс:
cosech
x
=
x
−
1
−
1
6
x
+
7
360
x
3
−
31
15120
x
5
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}
0
<
|
x
|
<
π
.
{\displaystyle 0<|x|<\pi .}
Обратные гиперболические функции [ 6] [ 11] Гиперболический арксинус:
arsh
x
=
x
−
1
2
⋅
3
x
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
5
x
5
−
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
7
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
x
2
n
+
1
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}
|
x
|
≤
1.
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}
Гиперболический арктангенс:
arth
x
=
x
+
1
3
x
3
+
1
5
x
5
+
1
7
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}
|
x
|
<
1.
{\displaystyle \left|x\right|<1.}
W-функция Ламберта :
W
0
(
x
)
=
x
−
x
2
+
3
x
3
2
−
8
x
4
3
+
125
x
5
24
−
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
,
|
x
|
≤
1
/
e
.
{\displaystyle W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.}
править
Пусть функция
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
T
=
(
x
−
x
0
)
∂
∂
x
+
(
y
−
y
0
)
∂
∂
y
{\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}}
Тогда разложение (формула Тейлора) функции
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
(
x
−
x
0
)
p
(
y
−
y
0
)
q
{\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}}
p
+
q
≤
n
{\displaystyle p+q\leq n}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f
(
x
,
y
)
=
∑
k
=
0
n
T
k
f
(
x
0
,
y
0
)
k
!
+
R
n
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),}
где
R
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle R_{n}(x,y)}
R
n
(
x
,
y
)
=
T
(
n
+
1
)
f
(
ξ
,
ζ
)
(
n
+
1
)
!
,
ξ
∈
[
x
0
,
x
]
,
ζ
∈
[
y
0
,
y
]
{\displaystyle R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]}
Следует иметь в виду, что операторы
∂
∂
x
{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial x}}}
∂
∂
y
{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial y}}}
T
k
{\displaystyle \mathrm {T} ^{k}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle (x-x_{0})}
(
y
−
y
0
)
{\displaystyle (y-y_{0})}
Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
В случае функции одной переменной
T
=
(
x
−
x
0
)
d
d
x
{\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,}
править
Для получения формулы Тейлора функции
n
{\displaystyle n}
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})}
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
(
m
+
1
)
{\displaystyle (m+1)}
T
=
(
x
1
−
a
1
)
∂
∂
x
1
+
(
x
2
−
a
2
)
∂
∂
x
2
+
.
.
.
+
(
x
n
−
a
n
)
∂
∂
x
n
.
{\displaystyle \mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.}
Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням
(
x
i
−
a
i
)
k
i
{\displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}}
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
∑
k
=
0
m
T
k
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
k
!
+
R
m
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
,
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),}
где
R
m
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
{\displaystyle R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})}
(
m
+
1
)
{\displaystyle (m+1)}
Для функции
n
{\displaystyle n}
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
∑
k
=
0
∞
1
k
!
∑
i
1
=
1
n
∑
i
2
=
1
n
.
.
.
∑
i
k
=
1
n
∂
k
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
∂
x
i
1
∂
x
i
2
.
.
.
∂
x
i
k
(
x
i
1
−
a
1
)
(
x
i
2
−
a
2
)
.
.
.
(
x
i
n
−
a
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}
В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
∑
k
=
0
∞
∑
k
1
=
0
∑
k
2
=
0
.
.
.
∑
k
n
=
0
⏞
k
1
+
k
2
+
.
.
.
+
k
n
=
k
1
k
1
!
k
2
!
.
.
.
k
n
!
∂
k
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
∂
x
1
k
1
∂
x
2
k
2
.
.
.
∂
x
n
k
n
(
x
1
−
a
1
)
k
1
(
x
2
−
a
2
)
k
2
.
.
.
(
x
n
−
a
n
)
k
n
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}
править
Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0,0)}
T
{\displaystyle \mathrm {T} }
T
=
x
∂
∂
x
+
y
∂
∂
y
+
z
∂
∂
z
.
{\displaystyle \mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.}
Разложение в ряд Тейлора запишется в виде
f
(
x
,
y
,
z
)
=
∑
k
=
0
2
T
k
f
0
k
!
+
R
2
(
x
,
y
,
z
)
=
{\displaystyle f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=}
=
(
1
+
T
+
T
2
2
)
f
0
+
R
2
(
x
,
y
,
z
)
;
{\displaystyle =\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);}
Учитывая, что
T
2
=
x
2
∂
2
∂
x
2
+
y
2
∂
2
∂
y
2
+
z
2
∂
2
∂
z
2
+
2
x
y
∂
2
∂
x
∂
y
+
2
x
z
∂
2
∂
x
∂
z
+
2
y
z
∂
2
∂
y
∂
z
,
{\displaystyle T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},}
получим
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
0
+
x
∂
f
0
∂
x
+
y
∂
f
0
∂
y
+
z
∂
f
0
∂
z
+
x
2
2
∂
2
f
0
∂
x
2
+
y
2
2
∂
2
f
0
∂
y
2
+
z
2
2
∂
2
f
0
∂
z
2
+
{\displaystyle f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+}
+
x
y
∂
2
f
0
∂
x
∂
y
+
x
z
∂
2
f
0
∂
x
∂
z
+
y
z
∂
2
f
0
∂
y
∂
z
+
R
2
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle +xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).}
Например, при
f
(
x
,
y
,
z
)
=
e
x
+
y
+
z
{\displaystyle f(x,y,z)=e^{x+y+z}}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
1
+
x
+
y
+
z
+
x
2
2
+
y
2
2
+
z
2
2
+
x
y
+
x
z
+
y
z
+
R
2
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).}
↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.↑ Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.↑ 1 2 3 4 5 6 Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine . — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.↑ Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз. ↑ Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз. ↑ При значении x
arcsin
x
=
arccos
1
−
x
2
,
{\displaystyle \arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},}
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
.
{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x.}
↑ Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз. ↑ Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Universum 2024 1(118) DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645.Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Естественная Теория Флагман Науки 2024 апрель ISSN 29491991
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.Маркушевич А. И. М. : Наука , 1967 . — Т. 1: Начала теории. — 486 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М. : Мир , 1971 . — 232 с.Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования . — М. : Наука , 1980. — № 25 . — С. 10—24 .Пискунов Н. С. М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1985 . — Т. 1. — 432 с.Пискунов Н. С. М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1985 . — Т. 2. — 560 с.Фихтенгольц Г. М. М. : ФИЗМАТЛИТ , 2003 . — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 . 