Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.
Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.
Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.
С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.
Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.
Определение
правитьПусть и — два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если:
- взаимно однозначна;
- непрерывна;
- обратная функция непрерывна.
Иными словами, биективна и для любого подмножества условие выполняется в том и только в том случае, если .
Если между пространствами и существует гомеоморфизм, то пишут или и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.
Примеры
править- На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.
- Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
- Произвольный открытый интервал гомеоморфен всей вещественной прямой . Гомеоморфизм задаётся, например, формулой
- В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.
- Отрезок не гомеоморфен вещественной прямой . Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
- Если , то .
- Теорема о гомеоморфизме[источник не указан 690 дней]. Пусть — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть — биекция. Тогда является гомеоморфизмом тогда и толь��о тогда, когда строго монотонна и непрерывна на
Топологические инварианты и свойства
правитьХарактеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.
Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.
Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.
Локальный гомеоморфизм
правитьНепрерывное отображение топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства имеется такая окрестность , что образ открыт в и сужение является гомеоморфизмом[1].
Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.
Например, отображение является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой в окружность . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений и первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.
Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Виро и др., 2012, с. 204.
Литература
править- Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
- Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
- Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
- Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М.. Элементарная топология . — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
Ссылки
править- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Для улучшения этой статьи желательно:
|