Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość^[1]; szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego.

Niech $a$ oznacza bok trójkąta równobocznego. Wówczas trójkąt ma następujące własności:

każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

\alpha ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ },

obwód wynosi:

L=3a,

wysokość ma długość^[2]:

h={\frac {a~{\sqrt {3}}}{2}}\approx 0{,}866~a,

pole powierzchni jest równe^[2]:

S={\frac {a^{2}~{\sqrt {3}}}{4}}\approx 0{,}433~a^{2},

długość promienia okręgu wpisanego wynosi^[2]:

r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}\approx 0{,}289~a,

długość promienia okręgu opisanego wynosi^[2]:

R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0{,}577~a,

jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi oraz dzielą się wzajemnie w stosunku 1 : 2.

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym

Niech dodatkowo $L_{r},L_{R}$ oznaczają odpowiednio obwód okręgu wpisanego i opisanego, zaś $S_{r},S_{R}$ – odpowiednio pole koła wpisanego i opisanego.

$=$	$a$	$h$	$S$	$r$	$R$	$L_{r}$	$L_{R}$	$S_{r}$	$S_{R}$
$a$	$a$	${\frac {2h{\sqrt {3}}}{3}}$	$2{\sqrt {\frac {S{\sqrt {3}}}{3}}}$	$2r{\sqrt {3}}$	$R{\sqrt {3}}$	${\frac {L_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}{\sqrt {3}}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {3S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {3S_{R}}{\pi }}}$
$h$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$	$h$	${\sqrt {S{\sqrt {3}}}}$	$3r$	${\frac {3}{2}}R$	${\frac {3L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {3L_{R}}{4\pi }}$	$3{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$S$	${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$	$S$	$3r^{2}{\sqrt {3}}$	${\frac {3R^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {3{L_{r}}^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi ^{2}}}$	${\frac {3{L_{R}}^{2}{\sqrt {3}}}{16\pi ^{2}}}$	${\frac {3S_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {3S_{R}{\sqrt {3}}}{4\pi }}$
$r$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$	${\frac {1}{3}}h$	${\frac {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}{3}}$	$r$	${\frac {1}{2}}R$	${\frac {L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {L_{R}}{4\pi }}$	${\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{4\pi }}}$
$R$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2}{3}}h$	${\frac {2{\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2r$	$R$	${\frac {L_{r}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$L_{r}$	${\frac {\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2\pi h}{3}}$	${\frac {2\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2\pi r$	$\pi R$	$L_{r}$	${\frac {L_{R}}{2}}$	$2{\sqrt {\pi S_{r}}}$	${\sqrt {\pi S_{R}}}$
$L_{R}$	${\frac {2\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {4\pi h}{3}}$	${\frac {4\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$4\pi r$	$2\pi R$	$2L_{r}$	$L_{R}$	$4{\sqrt {\pi S_{r}}}$	$2{\sqrt {\pi S_{R}}}$
$S_{r}$	${\frac {\pi a^{2}}{12}}$	${\frac {\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$\pi r^{2}$	${\frac {\pi R^{2}}{4}}$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{4\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{16\pi }}$	$S_{r}$	${\frac {S_{R}}{4}}$
$S_{R}$	${\frac {\pi a^{2}}{3}}$	${\frac {4\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {4\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$4\pi r^{2}$	$\pi R^{2}$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{4\pi }}$	$4S_{r}$	$S_{R}$

Zobacz też

twierdzenie trysekcji Morleya

Przypisy

↑ trójkąt równoboczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29] .
↑ ^a ^b ^c ^d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Linki zewnętrzne

Trójkąt równoboczny na Matematicus.pl
JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Punkt w trójkącie, „Delta”, czerwiec 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
Dlaczego równoboczny, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 10 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Equilateral Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].

[1] trójkąt równoboczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29] .

[cke-2] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[1]