Prijeđi na sadržaj

Jednakostranični trougao

Izvor: Wikipedija
Jednakostranični trougao, upisani i opisani krug

Jednakostranični trougao (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake

odnosno

takođe, svi uglovi su jednaki

.

Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa R (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa r (malim latiničnim slovom r). Inače se poluprečnik obilježava sa "r" ili "R" (en. radius), a prečnik sa "d" ili "D" (en. diameter).

Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.

Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.

Svojstva

[uredi | uredi kod]

Presek težišnih duži (T), presek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) se seku u jednoj tački.

Presek težišta, ortocentra, simetrale ugla simetrale stranice

Težišne duži su međusobno jednake.




Visine su međusobno jednake.



Težišne duži su podudarne visinama. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.


Težišne duži se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1.
Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine

[uredi | uredi kod]

[1]

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

Ako su vrhovi trougla određeni su kompleksnim brojevima , , respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. je jednakostraničan trougao
  2. za
  3. za

Ako su ), i vrhovi pozitivno orijentisanog trougla , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

  1. je jednakostraničan trougao;
  2. , gde je
  3. , gde je

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti , i od vrhova , , i , važi

Za bilo koju tačku upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima , i od vrhova važi

Konstrukcija

[uredi | uredi kod]
malo
malo

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

malo

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Površina

[uredi | uredi kod]
Razmera težišnih duži

Površina se može izračunati standardnom formulom: ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:


malo
malo

Formulu za površinu

lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

[uredi | uredi kod]

Pomoću trigonometrije

[uredi | uredi kod]

Visina

[uredi | uredi kod]

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:

Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:

,

a druga je izvedena iz formule za površinu:

kada se racionališe i skrati dobija se .

Zanimljivosti

[uredi | uredi kod]

Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.

Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.

Povezano

[uredi | uredi kod]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi kod]
  1. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
  2. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem Arhivirano 2023-06-16 na Wayback Machine-u
  3. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers Arhivirano 2023-06-20 na Wayback Machine-u
  4. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities Arhivirano 2023-05-03 na Wayback Machine-u
  5. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
  6. Primene kompleksnih brojeva u geometriji[mrtav link]

Reference==

  1. Odnos poluprečnika upisanog i opisanig kruga