Ֆուրիեի շարք

Ֆուրիեի շարք, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Ենթադրենք ${\displaystyle f}$-ը որևէ ինտեգրելի ${\displaystyle 2\pi }$-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0}$։

Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos(nt)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin(nt)\right)\\\end{aligned}}}$

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}}$

ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }$

Էյլերի բանաձևից։

Եթե ${\displaystyle f}$-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ ${\displaystyle a_{n}}$ և ${\displaystyle b_{n}}$ գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \cos({\tfrac {nt}{P}})\ dt}$, ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \sin(nt)\ dt}$,

իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot e^{-int}\ dt}$

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի ${\displaystyle f}$ ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}}$

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ և ${\displaystyle c_{n}}$ գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք ${\displaystyle f}$ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

${\displaystyle f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi )}$

ֆունկցիան, որտեղ ${\displaystyle A\geq 0}$։
Սովորաբար ${\displaystyle t}$-ով նշվում է ժամանակը, իսկ ${\displaystyle f(t)}$ ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, ${\displaystyle f(t)}$-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
${\displaystyle A}$-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, ${\displaystyle \lambda }$-ն՝ հաճախականություն, իսկ ${\displaystyle \phi }$-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք ${\displaystyle N}$ տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

${\displaystyle f_{n}(t)=A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})}$,

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})}$։

Պարզագույն դեպքում, բոլոր ${\displaystyle \lambda _{n}}$-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ ${\displaystyle f_{n}(t)}$-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$, այսինքն դիտարկում ենք ${\displaystyle 2\pi }$-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})}$։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ ${\displaystyle 2\pi }$-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})}$։

Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ^[1]։

Նկատենք, որ

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0}$

վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի ${\displaystyle A_{0}}$ շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի ${\displaystyle A_{1}}$ շառավիղ, որի կենտրոնը ${\displaystyle (A_{0}\cos(0t+\phi _{0}),A_{0}\sin(0t+\phi _{0}))}$ կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի ${\displaystyle \left(A_{N}\cos(Nt+\phi _{N}),A_{N}\sin(Nt+\phi _{N})\right)}$ դիրքին համապատասխանող կետի ${\displaystyle y}$ կոորդինատը ${\displaystyle t}$ պահին կլինի ${\displaystyle f(t)}$-ն։

• 
  ${\displaystyle f(t)=\operatorname {sgn}[\sin(t)]}$ քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը
• 

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437
• Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 250 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498
• Katznelson, Yitzhak (1976). «An introduction to harmonic analysis» (Second corrected ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (օգնություն)
• Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
• Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917

• Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին (անգլ.)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ֆուրիեի շարք» հոդվածին։

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Բրիտանիկա (11-րդ) · Բրիտանիկա · Լարուսի · Մեծ նորվեգական   Չափորոշչային վերահսկողություն BNE: XX540313 · BNF: 11979488t · GND: 4155109-6 · LCCN: sh85051090 · Microsoft: 207864730 · NDL: 00562088 · NKC: ph135377