ಫೋರ್ಯೇ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

-π ≤ x ≤ π ಅಂತರದಲ್ಲಿ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$...…(1)

ಆಗಿರಲಿ. ಇದರಲ್ಲಿಯ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನುಕಲ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

m, n ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದರೆ (positive integers), ಆಗ

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin nx\ dx=0}$, ${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nx\ dx={\begin{cases}\ \ \ 0,m\neq n;\\-\pi ,m=n\end{cases}}}$

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos nx\ dx=0}$, ${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\ dx={\begin{cases}0,m\neq n;\\\pi ,m=n\end{cases}}}$

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx\ dx=0}$,

ಎಂಬ ಅನುಕಲಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಶ್ರೇಣಿ (1) ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಅನುಕಲಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅದರ ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\ dx=\left\lfloor {\frac {1}{2}}\right\rfloor a_{0}\int \limits _{-\pi }^{\pi }dx=a_{0}\pi }$

ಆಗುತ್ತದೆ; ಇದರ ಪದಗಳೆಲ್ಲವೂ ಮೇಲಿನ ಅನುಕಲಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

${\displaystyle \therefore a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\ dx}$

ಮತ್ತೆ (1) ರ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನೂ cos nx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\ dx=a_{n}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\ dx=a_{n}\pi }$

ಆಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಪದಗಳೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

${\displaystyle \therefore a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\ dx}$

ಇದೇ ರೀತಿ (1)ರ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನೂ sin nx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\ dx}$

ಈಗ, ವಿಸ್ತರಣೆ (1)ರಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಕಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವ ಶ್ರೇಣಿಯೇ ದತ್ತ ಅಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫೋರ್ಯೇ ಶ್ರೇಣಿ. ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿ f(x) ಗೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಂಥ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಉಪಪ್ರಸರಣ, ತಂತ್ರೀಕಂಪನ ಮುಂತಾದ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಅವಶ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆದಿಯಲ್ಲಿ ಫೋರ್ಯೇ ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ.

• "Fourier series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
•  Hobson, Ernest (1911). "Fourier's Series" . Encyclopædia Britannica. Vol. 10 (11th ed.). pp. 753–758. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameters: |HIDE_PARAMETER= and |separator= (help)
• Weisstein, Eric W., "Fourier Series", MathWorld.
• Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ (archived December 5, 2001)