Fourier' rida

Fourier' rida (või ka Fourier' reaksarendus) on viis esitada perioodilist signaali või perioodilist impulsside jada sinusoidide summana. Summat saab esitada komplekssete astendajatega eksponentfunktsioonide või trigonomeetriliste funktsioonide (siinuste ja koosinuste) kaudu.

Fourier' reaksarendus on saanud nimetuse Joseph Fourier' (1768–1830) järgi, kes kasutas seda soojusjuhtivuse võrrandi lahendamiseks.

Fourier' rida on lähedalt seotud Fourier' teisendusega, mis esitab funktsiooni sagedusruumis. Fourier' teisendus muudab funktsiooni argumendiks sageduse: ${\displaystyle f(x)\rightarrow F(\omega )}$. Sel juhul funktsiooni väärtus ${\displaystyle F(\omega )}$ näitab vastava sageduse amplituudi esialgses funktsioonis ${\displaystyle f(x)}$. Fourier' rittaarenduses vastavad funktsiooni ${\displaystyle F(\omega )}$ argumentidele, ehk sagedustele, summa erinevad liikmed ning funktsiooni ${\displaystyle F(\omega )}$ väärtustele nende liikmete ees olevad kordajad.

Fourier' rida on oma olemuselt signaali sageduskomponentideks lahutamisel saadud liikmete jada. Igal rea liikmel on oma kindel sagedus ning amplituud (ees olev kordaja), mis määrab ära, kui tugevalt see liige on esindatud algses signaalis. Üldiselt on Fourier' read lõpmata pikad, kuid paljudel juhtudel võib hea lähenduse saada, kui arvestada vaid esimest nelja-viite liiget.

Fourier' rida saab esitada mitut moodi.

Olgu funktsioon ${\displaystyle f(x)}$ perioodiline funktsioon või impulsside jada perioodiga ${\displaystyle 2L}$. Sellisel juhul on selle funktsiooni Fourier' ritta arenduseks lõigul ${\displaystyle -L\leq x\leq L}$:

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right],}$

kus kordajad ${\displaystyle a_{0},a_{n}}$ ja ${\displaystyle b_{n}}$ avalduvad integraalidena:^[1]

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\,dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\,\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\,\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

Kordajat ${\displaystyle a_{0}}$ nimetatakse ka vastava funktsiooni alaliskomponendiks, kuna integraali, millega ta on defineeritud, võib tõlgendada kui funktsiooni ${\displaystyle f(x)}$ keskväärtust lõigul ${\displaystyle -L\leq x\leq L}$. Indeks ${\displaystyle n}$ on täisarv, mis võib omada väärtuseid nullist lõpmatuseni.

Trigonomeetrilise esituse eeliseks on, et see lihtsustub, kui algfunktsioon on kas paaris- (funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes) või paaritu funktsioon (graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes). Paaritu funktsiooni puhul on kordajad ${\displaystyle a_{n}=0}$ ning paarisfunktsiooni puhul ${\displaystyle b_{n}=0}$.

Polaaresitus käib faasis nihutatud koosinuse kaudu:^[2]

${\displaystyle F(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n}),}$

kus:

${\displaystyle x_{0}={\frac {a_{0}}{2}},\,}$

${\displaystyle x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}},}$

${\displaystyle \phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right).}$

Rida saab esitada ka koosinuste asemel siinustena, kuid sisulist erinevust neil kahel esitusel ei ole ning tava järgi kasutatakse koosinusi.

Kasutades nurkade summa koosinuse valemit ${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,}$, saab näidata, et polaaresitus on võrdne trigonomeetrilise esitusega:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n})=f(x)\\&=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\big [}\cos(n\omega x)\cos(-\phi _{n})-\sin(n\omega x)\sin(-\phi _{n}){\big ]}\\&=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\big [}\cos(n\omega x)\cos(\phi _{n})+\sin(n\omega x)\sin(\phi _{n}){\big ]}\\&=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}x_{n}\cos(\phi _{n})\cos(n\omega x)+x_{n}\sin(\phi _{n})\sin(n\omega x){\big ]}\end{aligned}}}$

Tähistades siin:

${\displaystyle a_{n}=x_{n}\cos(\phi _{n})\,}$, \,\, ${\displaystyle b_{n}=x_{n}\sin(\phi _{n})\,}$

jagades need võrrandid omavahel:

${\displaystyle {\frac {b_{n}}{a_{n}}}={\frac {x_{n}\sin(\phi _{n})}{x_{n}\cos(\phi _{n})}}=\tan(\phi _{n})}$

${\displaystyle \phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)}$

ning võttes need võrrandid ruutu ja liites omavahel:

${\displaystyle a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\left[\cos ^{2}(\phi _{n})+\sin ^{2}(\phi _{n})\right]}$

${\displaystyle a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\,}$

${\displaystyle x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$

on näha, et siin avaldatud suurused ${\displaystyle x_{n}}$ ja ${\displaystyle \phi _{n}}$ on võrdsed esialgsete tähistustega. Seega ülaltoodud polaaresituse kuju on ekvivalentne trigonomeetrilise kujuga. Polaaresituse eeliseks on see, et kui originaalfunktsiooni mingi pikkuse ${\displaystyle x}$ (või aja ${\displaystyle t}$) võrra nihutada, pole vaja kõiki koefitsiente ${\displaystyle x_{n}}$ uuesti välja arvutada. Ainuke muutuv parameeter on faas ${\displaystyle \phi _{n}}$.

Euleri valem ütleb, et

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$

Seega saab trigonomeetrilist rida, kasutades veel valemeid ${\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2i}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)}$ ja ${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)}$, teisendada komplekssete astendajatega eksponentide reaks:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,\left[{\frac {a_{n}}{2}}\left(e^{i{\frac {n\pi x}{L}}}+e^{-i{\frac {n\pi x}{L}}}\right)+{\frac {b_{n}}{2i}}\left(e^{i{\frac {n\pi x}{L}}}-e^{-i{\frac {n\pi x}{L}}}\right)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,\left[{\frac {1}{2}}\left(a_{n}-ib_{n}\right)e^{i{\frac {n\pi x}{L}}}+{\frac {1}{2}}\left(a_{n}+ib_{n}\right)e^{-i{\frac {n\pi x}{L}}}\right]\end{aligned}}}$

Kui tähistada siin:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}-ib_{n}\right),\,\,c_{-n}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+ib_{n}\right)}$

ongi tulemuseks kompleksne kuju:

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\,c_{n}\,e^{i{\frac {n\pi x}{L}}}}$

Erinevuseks on see, et indeksil ${\displaystyle n}$ on nüüd väärtused miinus lõpmatusest lõpmatuseni ja seetõttu esinevad reas ka negatiivsed sagedused ( kui ${\displaystyle n<0}$). Reaalsete signaalide Fourier' rittaarenduses koonduvad negatiivsed sagedused siiski välja. Tingimus selle jaoks on ${\displaystyle c_{-n}={\overline {c_{n}}}}$, ehk negatiivse indeksiga kordaja peab olema positiivse indeksiga kordaja kordaja kaaskompleks.

Olgu meil ${\displaystyle 2\pi }$-perioodiline funktsioon ${\displaystyle f(x)}$, millel on lõigul ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ väärtused

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-\pi ,&-\pi <x<0\\+\pi ,&0<x<\pi \end{cases}}}$

See on kastfunktsioon amplituudväärtusega ${\displaystyle \pi }$. Selle funktsiooni Fourier' rea trigonomeetrilise kuju leidmiseks tuleb arvutada kordajad ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\cos \left({\frac {n\pi x}{\pi }}\right)\,dx={\frac {1}{\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}-\pi \,\cos \left(nx\right)\,dx+\int _{0}^{\pi }\pi \,\cos \left(nx\right)\,dx\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\left[\left.-{\frac {\pi }{n}}\,\sin \left(nx\right)\right|_{-\pi }^{0}+\left.{\frac {\pi }{n}}\,\sin \left(nx\right)\right|_{0}^{\pi }\right]={\frac {1}{n}}{\big [}-\sin(0)+\sin(n\pi )+\sin \left(n\pi \right)-\sin(0){\big ]}=0\\\end{aligned}}}$

mida oleks saanud ennustada ka asjaolust, et antud funktsioon on paaritu. Samuti saab ennustada, et kordaja ${\displaystyle a_{0}=0}$, sest funktsioon on pool perioodi väärtusega ${\displaystyle -\pi }$ ning teine pool väärtusega ${\displaystyle \pi }$. Seega keskväärtus on null. Kordajad ${\displaystyle b_{n}}$ tulevad:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\sin \left({\frac {n\pi x}{\pi }}\right)\,dx=\int _{-\pi }^{0}-\sin \left(nx\right)\,dx+\int _{0}^{\pi }\sin \left(nx\right)\,dx\\&={\frac {1}{n}}\left[\cos \left(nx\right){\bigg |}_{-\pi }^{0}-\cos \left(nx\right){\bigg |}_{0}^{\pi }\right]={\frac {1}{n}}{\big [}\cos(0)-\cos(-n\pi )-\cos(n\pi )+\cos(0){\big ]}\\&=2{\frac {1-(-1)^{n}}{n}}\end{aligned}}}$

On näha, et ${\displaystyle b_{n}=0}$ iga paarisarvulise ${\displaystyle n}$ väärtuse korral. Funktsiooni ${\displaystyle f(x)}$ Fourier' rida on seega:

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }\,2{\frac {1-(-1)^{n}}{n}}\sin(nx)}$

Näite kõrval olevatel piltidel on kujutatud selle funktsiooni (või ükskõik millise kastfunktsiooni) Fourier' rittaarendus. Ülemisel on arvestatud vaid esimese liikmega ja järjest liikmeid summeerides jõuame tulemuseni, mida on näha alumisel joonisel. Selles on nelja esimese nullist erineva liikme summast saadud funktsioon.