Կանոնավոր եռանկյուն

Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն, կանոնավոր բազմանկյուն է երեք կողմերով, կանոնավոր բազմանկյուններից ամենապարզը։ Եռանկյան բոլոր կողմերը իրար հավասար են, հավասար են նաև անկյունները և յուրաքանչյուրը 60° է։

Եթե կողմի երկարությունը նշանակենք a, արտագծած շրջանագծի շառավիղը R և ներգծած շրջանագծի շառավիղը r, ապա.

• Ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$

• Արտագծած շրջանագծի շառավիղը.

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$

• Բարձրությունները, կիսորդները և միջնագծերը համընկնում են.

${\displaystyle h=m=l={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

• Արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղի կրկնապատիկին.

${\displaystyle R=2r}$

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

• ${\displaystyle \displaystyle P=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r}$^[2]
• ${\displaystyle \displaystyle P^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle \displaystyle P^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle \displaystyle P=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle \displaystyle P={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$
• ${\displaystyle P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r}$

• ${\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

• ${\displaystyle \displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$^[6]
• ${\displaystyle \displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}$^[4]
• ${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}}$
• Կանոնավոր եռանկյուններով կարելի է հարթություն ստանալ։
• Կանոնավոր եռանկյան մեջ ինը կետերի շրջանագիծը համընկնում է ներգծված շրջանագծի հետ։

Ցանկացած 60°-ից 180°-ի համար գոյություն ունի կանոնավոր սֆերիկ եռանկյուն տվյալ անկյան չափերով։

• Նապոլեոնի խնդիրը
• Սիմսոնի ուղիղ
• Վիվիանի թեորեմը
• Մորլի թեորեմ
• Նապոլեոնի թեորեմ
• Պոմպեույի թեորեմը
• Թեբոյի 1 և 2 թեորեմները
• Ապոլլոնիայի կետերը
• Տորիչելիի կետերը

• Եռանկյան հիանալի կետեր
• Հավասարակողմ եռանկյուն
• Չևայի թեորեմ
• Եռանկյուն
• Ռյոլոյի եռանկյուն