絕對值

絕對值（absolute value）係數學上面常用嘅概念。佢意指將所有嘅負數變成正數，正數都仲係正數。同時，佢可以代表兩個數字之間嘅距離。拓展落去，佢可以代表兩樣嘢之間嘅距離。

絕對值同時都係一個基本函數之一。有咗絕對值，可以推斷到好多有用嘅公式，其中一條就係三角形不等式。

假設有一個實數${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$。佢嘅絕對值${\displaystyle |a|}$就係$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a&{\text{if }}a>0,\\0&{\text{if }}a=0,\\-a&{\text{if }}a<0.\end{cases}}}$$如果將呢個定義用函數圖形嚟表示，${\displaystyle |a|}$會好似一個「V」字嘅樣。

例子

• ${\displaystyle |5|=5}$
• ${\displaystyle |{-12}|=12}$
• ${\displaystyle |0|=0}$

如果${\displaystyle |a|=0}$，咁一定係${\displaystyle a=0}$。(${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$)

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$，${\displaystyle a<0}$或者${\displaystyle a=0}$。根據定義，只有${\displaystyle a=0}$，先至會有${\displaystyle |a|=0}$。

${\displaystyle |{-a}|=|a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$，${\displaystyle a<0}$或者${\displaystyle a=0}$。

如果${\displaystyle a>0}$，咁${\displaystyle -a<0}$。得出${\displaystyle |{-a}|=-(-a)=a=|a|}$。

如果${\displaystyle a<0}$，咁${\displaystyle -a>0}$。得出${\displaystyle |a|=-a=|{-a}|}$。

如果${\displaystyle a=0}$，咁${\displaystyle |a|=|0|=0=-0=|{-a}|}$。

${\displaystyle |ab|=|a||b|,\,\forall a,b\in \mathbb {R} }$

證明：

如果${\displaystyle a=0}$或者${\displaystyle b=0}$，咁${\displaystyle |ab|=|a||b|}$。

因為性質二得知，無論${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。

${\displaystyle |ab|=ab=|a||b|}$。

${\displaystyle |a^{2}|=a^{2},\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

利用性質三得出，${\displaystyle |a^{2}|=|aa|=|a||a|=aa=a^{2}}$。

如果${\displaystyle c\geq 0}$，咁只有因為${\displaystyle -c\leq a\leq c}$，先會得出${\displaystyle |a|\leq c}$。換句話講，${\displaystyle |a|\leq c}$同${\displaystyle -c\leq a\leq c}$係同一個意思。

${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

• 三角形不等式
• 開方根
• 複數
• 向量