直接證明

直接證明（粵拼：Zik⁶ zip³ zing³ ming⁴；英文：Direct Proof），又叫推導，係數學證明嘅方法之一，亦都係最普及同埋常用嘅。有句話：「有時最直接嘅解決方法係最簡單。」就正正最可以代表直接證明。呢個證明方法係先揾出一啲數學家覺得唔使證明都可以當係真嘅命題（粵拼：Ming⁶ tai⁴；Proposition）或者之前已經證明咗嘅定理（粵拼：Ding⁶ lei⁵；Theorem），用純邏輯推理（粵拼：Teoi¹ lei⁵；Deductive reasoning）去推個結論出嚟。

概念

大部分定理都可以分做「如果 $A$ 成立，咁 $B$ 就成立。」如果 $A$ 令到 $A_{1}$ 成立，而 $A_{1}$ 令到 $A_{2}$ 成立，如此類推。最後 $A_{n}$ 令到 $B$ 成立，咁樣「 $A\implies B$ 」。

利用邏輯運算字表達嘅話係：

$A\implies A_{1}\implies A_{2}\implies \cdots A_{n}\implies B$

例子

證明：「假設整數 $m\in \mathbb {Z}$ 。如果 $m$ 係單數，咁樣 $m^{2}$ 都係單數。」

答案

如果

m

係單數，即係話對應任何整數

r\in \mathbb {Z}

，

m=2r+1

。

由此，

$m^{2}=(2r+1)^{2}=4r^{2}+4r+1=2(2r^{2}+2r)+1$

所以， $m^{2}$ 係單數。

證明：「任何兩個實數 $m,n\in \mathbb {Z}$ 。如果 $n>m>0$ ，咁樣 ${\frac {m+1}{n+1}}>{\frac {m}{n}}$ 。」

草稿：其實係點樣諗到個證明呢？利用下面呢條式，睇下係唔係真係 $n>m$ 。

${\begin{aligned}{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\(m+1)n&>m(n+1)\\mn+n&>mn+m\\n&>m\\\end{aligned}}$

答案

利用上面：

${\begin{aligned}n&>m\\mn+n&>mn+m\\(m+1)n&>m(n+1)\\{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\\end{aligned}}$

證明方程相等

如果要證明一條方程相等，除咗正常嘅左面等於右面之外，亦可以利用以下幾個方法：

$x-y=0\iff x=y$
$x\leq y$ 同埋 $x\geq y\iff x=y$
$x=z$ 同埋 $y=z\iff x=y$

例子：「證明 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 。」

證明：利用左面等於右面

利用 $\sin \theta$ 同 $\cos \theta$ 嘅定義證明，留意畢氏定理嘅應用。

${\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta ,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2},\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}},\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1\end{aligned}}$

證明：利用

x-y=0\iff x=y

同上面差唔多，

${\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1&=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta -1,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2}-1,\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}-1\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}-1,\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1-1\\&=0\end{aligned}}$

雙向式證明

雙向式定義

雙向式（粵拼：Soeng¹ hoeng³ sik¹；If and only If Statement）係邏輯上嘅一類句字，佢係指嗰句句子無論順方向定係逆方向都啱嘅。喺數學語言上佢係用「 $\iff$ 」邏輯運算子嚟代表嘅。

一般句字都未必係雙向，例如話：「老母係女人。」但係，女人未必係老母。用邏輯運算子嚟表達， $A\implies B$ 唔代表 $B\implies A$ 。

因此，證明雙向式需要證明兩個方向，「 $\implies$ 」同埋「 $\Longleftarrow$ 」。

例子

證明：「假設 $a,b,c\in \mathbb {R}$ ，咁 $ax^{2}+bx+c=0\iff {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 。」

證明：呢個

\implies

方向

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

證明：呢個

\Longleftarrow

方向

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\ax^{2}+bx+c&=0\\\end{aligned}}$

證明一個集係另一個集嘅子集

假設一個數學家想要證明一個集（Set） $A$ 係另一個集 $B$ 嘅子集（Subset），即係要證明 $A\subset B$ 。如果喺 $A$ 入面搵任何一粒嘢 $a$ （即係 $a\in A$ ），佢同時又係 $B$ 嘅嘢（即係 $a\in B$ ）嘅話，咁就證明到 $A\subset B$ 。

例子：「證明任何兩個集 $A$ 、 $B$ ， $A\cap B\subset A\cup B$ 」

答案

揀任何一粒嘢 $x\in A\cap B$ 。

${\begin{aligned}&x\in A\cap B\\\implies &x\in A{\text{ and }}x\in B\\\implies &x\in A{\text{ or }}x\in B\\\implies &x\in A\cup x\in B\end{aligned}}$