Trapezoedru

Descriere
Trapezoedru n-gonal

Exemplu de trapezoedru pentagonal (dual uniform)
Tip	Dual al unui poliedru uniform în sens de dual al unui poliedru semiregulat
Fețe	2n (V3.3.3.n)
Laturi (muchii)	4n
Vârfuri	2n + 2
χ	2
Simbol Schläfli	{ } ⨁ {n}^[1]
Simbol Conway	dA_n
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	D_nd, [2⁺,2n], (2*n), ordin 4n
Grup de rotație	D_n, [2,n]⁺, (22n), ordin 2n
Poliedru dual	antiprismă n-gonală uniformă convexă
Proprietăți	convex, cu fețe rombice, tranzitiv pe fețe^[2]

În geometrie un trapezoedru n-gonal sau antibipiramidă n-gonală este dualul unei antiprisme n-gonale. Cele 2n fețe ale n-trapezoedrului sunt congruente și dispuse simetric. Pentru o simetrie înaltă, cele 2n fețe sunt romboizi.

Partea „n-gonal” din numele său nu se referă la numărul de fețe, ci la două aranjamente ale vârfurilor de pe axa de simetrie cu n poziții. Antiprisma duală n-gonală are două fețe reale n-gonale.

Un trapezoedru n-gonal poate fi divizat în două piramide n-gonale egale și o antiprismă n-gonală.

Simetrie

Grupul de simetrie al unui trapezoedru n-gonal este D_nd, de ordinul 4n, cu excepția cazului lui n = 3: un cub are grupul de simetrie mai mare O_d de ordinul 48 = 4×(4×3), care are patru versiuni de D_3d ca subgrupuri.

Grupul de rotație^⁠(d) al unui n-trapezoedru este D_n, de ordinul 2n, cu excepția în cazul lui n = 3: un cub are grupul de rotație mai mare O de ordinul 24 = 4×(2×3), care are patru versiuni de D₃ ca subgrupuri.

Un grad de libertate în cadrul simetriei de la D_nd (ordin 4n) la D_n (ordin 2n ) schimbă romboizii congruenți în patrulatere congruente cu laturi de trei lungimi, numiți romboizi răsuciți, iar n-trapezoedrul se numește trapezoedru răsucit. (La limită, o latură a fiecărui patrulater ajunge la lungimea zero, iar n-trapezoedrul devine o n-bipiramidă.)

Dacă romboizii care înconjoară cele două vârfuri nu sunt răsuciți, ci au două forme diferite, n-trapezoedrul poate avea doar simetrie C_nv (ciclică cu oglindiri verticale), ordinul 2n, și se numește trapezoedru inegal. Dualul său este o n-antiprismă inegală, cu bazele poligonale de sus și de jos cu raze diferite.

Dacă romboizii sunt răsuciți și au două forme diferite, n-trapezoedrul poate avea doar simetrie C_n (ciclică) de ordinul n și este numit trapezoedru răsucit inegal.

Exemple de variații cu trapezoedre hexagonale (n = 6)
Tipul trapezoedrului	Trapezoedru răsucit	Trapezoedru inegal	Trapezoedru răsucit inegal
Grup de simetrie	D₆, (662), [6,2]⁺	C_6v, (*66), [6]	C₆, (66), [6]⁺
Imagine
Desfășurată

Forme

Un n-trapezoedru are 2n fețe patrulatere și 2n+2 vârfuri, dintre care două sunt apexuri. Aceste apexuri definesc axa polară, iar celelalte vârfuri sunt situate pe două inele n-gonale regulate.

Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru	Trapezoedru digonal (tetraedru)	Trapezoedru trigonal	Trapezoedru tetragonal	Trapezoedru pentagonal	Trapezoedru hexagonal	Trapezoedru heptagonal	Trapezoedru octogonal	Trapezoedru decagonal	Trapezoedru dodecagonal	...	Trapezoedru apeirogonal
Imagine										...
Pavare sferică										Pavare plană
Configurația feței	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Cazuri particulare:

n = 2. O formă degenerată de trapezoedru: un tetraedru geometric cu 6 vârfuri, 8 laturi și 4 fețe romboidale degenerate în triunghiuri. Dualul său este o formă degenerată de antiprismă: tot un tetraedru.

n = 3. Dualul unei antiprisme triunghiulare: romboizii sunt romburi (sau pătrate); prin urmare, aceste trapezoedre sunt și zonoedre. Se numesc și romboedre. Sunt cuburi scalate în direcția unei diagonale principale. Ele sunt, de asemenea, paralelipipede cu fețe rombice congruente.

Un caz special al unui romboedru este acela în care romburile care formează fețele au unghiuri de 60° și 120°. Poate fi descompus în două tetraedre regulate egale și un octaedru regulat. Deoarece paralelipipedele pot umple spațiu, la fel poate și o combinație de tetraedre regulate și octaedre regulate.

Trapezoedre stelate

Un p/q-trapezoedru stelat este o figură tranzitivă pe fețe definită printr-un poligon strâmb în zigzag regulat. Baza sa este un poligon stelat 2p/q-gonal, are două apexuri simetrice fără grade de libertate, unul deasupra și celălalt dedesubtul bazei și fețele romboedre care conectează fiecare pereche de laturi adiacente de la bază la un apex.

Un astfel de p/q-trapezoedru stelat este o formă autointersectată, neconvexă. El există pentru orice 2p/q-gon strâmb în zigzag stelat regulat; dar dacă p/q < 3/2, atunci p − q < q/2, deci antiprisma duală stelată (a trapezoedrului stelat) nu poate fi uniformă (adică nu poate avea laturile de lungime egală); iar dacă p/q = 3/2, atunci p − q = q/2, deci antiprisma duală stelată pentru a fi uniformă trebuie să fie plată, adică degenerată.

Un p/q-trapezoedru dual stelat are diagrama Coxeter–Dynkin .

Trapezoedre p/q stelate uniforme până la p = 12
5/2	5/3	7/2	7/3	7/4	8/3	8/5	9/2	9/4	9/5

10/3	11/2	11/3	11/4	11/5	11/6	11/7	12/5	12/7

Note

^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
^ en „duality”. maths.ac-noumea.nc. Accesat în 19 octombrie 2020.

Bibliografie

en Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
en Spencer, Leonard James (1911). „Crystallography”. În Chisholm, Hugh. Encyclopædia Britannica. 07 (ed. 11). Cambridge University Press. pp. 569–591.

Legături externe

Materiale media legate de trapezoedru la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Trapezohedron la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Isohedron la MathWorld.
en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
en VRML models (George Hart) <3> Arhivat în 15 septembrie 2020, la Wayback Machine. <4> Arhivat în 24 februarie 2020, la Wayback Machine. <5> Arhivat în 24 februarie 2018, la Wayback Machine. <6> Arhivat în 15 septembrie 2020, la Wayback Machine. <7> Arhivat în 30 decembrie 2019, la Wayback Machine. <8> ^{[nefuncțională]} <9> Arhivat în 15 septembrie 2020, la Wayback Machine. <10> Arhivat în 20 iunie 2018, la Wayback Machine.
en Conway Notation for Polyhedra Try: "dAn", where n=3,4,5... Example: "dA5" is a pentagonal trapezohedron.
en Paper model tetragonal (square) trapezohedron

Portal Matematică

[1] Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c

[2] „duality”. maths.ac-noumea.nc. Accesat în 19 octombrie 2020.

[1]