Trapetsoedri
| Trapetsoedrit | |
|---|---|
| |
| Conwayn merkintä | dAn |
| Schläflin symboli | { } ⨁ {n}[1] |
| Coxeterin diagrammit |    
|
| Tahkoja | 2n leijaa |
| Särmiä | 4n |
| Kärkiä | 2n + 2 |
| Tahkokonfiguraatio | V3.3.3.n |
| Symmetriaryhmä | Dnd, [2+,2n], (2*n), kertalukua 4n |
| Rotaatioryhmä | Dn, [2,n]+, (22n), kertalukua 2n |
| Duaalikappale | antiprisma |
| Ominaisuudet | kupera, tahkotransitiivinen |
n-kulmainen trapetsoedri, antidipyramidi, antibipyramidi eli deltoedri on avaruusgeometriassa n-kulmaisen antiprisman duaalikappale.[2] Symmetrisimmillä trapetsoedreilla on tahkoinaan 2n keskenään yhtenevää leijaa, joita sanotaan myös trapetseiksi eli deltoideiksi. Tahkot sijaitsevat symmetrisesti kappaleen akselin ympärillä.
Luku n, jonka mukaan trapetsoeria nimitetään n-kulmaiseksi, ei tarkoita, että tahkot olisivat n-kulmioita, sillä ne ovat aina nelikulmioita. Sen sijaan luku viittaa kärkien sijoittumiseen kappaleen symmetria-akselin ympärillä. Sen sijaan n-kulmaisella antiprismalla todella on tahkoina kaksi n-kulmiota.
n-kulmainen trapetsoedri voidaan jakaa kahdeksi yhteneväksi n-kulmaiseksi pyramidiksi sekä yhdeksi n-kulmaiseksi antiprismaksi.
Nimi
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Trapetsoedreja sanotaan joskus myös deltoedreiksi- Ne ovat kuitenkin aivan eri asia kuin deltaedrit, joiden sivut ovat tasasivuisia kolmioita.
Kristallografiassa trapetsoedrilla tarkoitetaan usein 24-tahkoista monitahokasta, jonka tahkot ovat epäsäännöllisiä nelikulmioita. Tämä monitahokas tunnetaan myös nimellä deltoidinen ikositetraedri, leukitoedri tai tetragonaalinen trisoktaedri.[3]
Tahkot, kärjet ja särmät
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Symmetrisellä n-trapetsoedrilla on 2n tahkoa, jotka kaikki ovat muodoltaan yhteneviä leijoja, erikoistapauksessa neliöitä.
n-trapetsoedrilla on 2n + 2 kärkeä. Niistä kaksi on huippuja, joissa kohtaa toisensa n tahkoa ja yhtä monta särmää, kun taas kaikissa muissa kohtaavat toisensa kolme tahkoa ja kolme särmää.
Särmiä n-trapetsoedrilla on 4n. Kumpaankin huippuun johtaa n särmää, kun taas loput 2n särmää yhdistävät trapetsoedrin muut kärjet toisiinsa.
Myös kuutio voidaan käsittää trapetsoedrin erikoistapaukseksi, 3-trapetsoedriksi, jonka tahkot ovat neliöitä. Se on oktaedrin duaalikappale, ja oktaedri on samalla antiprisma.[2]
Symmetria
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Symmetrisimmän n-kulmaisen trapetsoedrin symmetriaryhmä on Dnd, kertalukua 4n, paitsi kuution tapauksessa, jolla on laajempi symmetriaryhmä Od, kertalukua 48, jolla on aliryhminään neljä versiota ryhmästä D3d.
Trapetsoedrin rotaatioryhmä on Dn, kertalukua 2n, paitsi kuution tapauksessa, jolla on laajempi rotaatioryhmä O, kertalukua 24, jolla on aliryhminään neljä versiota ryhmästä D3.
Jos trapetsoedrin tahkoina olevat leijat korvataan sellaisilla keskenään yhtenevillä nelikulmioilla, joissa vain kaksi sivuista on yhtä pitkiä, saadaan väännetty trapetsoedri. Sen symmetria on Dh. Rajatapauksessa jokaisen nelikulmion sivuista yhden pituus menee nollaksi, jolloin kappale muuttuu bipyramidiksi.
Jos vastakkaisia huippuja ympäröivät leijat ovat eri muotoisia, kappaleella on vain symmetria Cnv, kertalukua 2n. Kappaletta sanotaan tällöin asymmetriseksi trapetsoedriksi. Sellaisen duaali on asymmetrinen antiprisma, jonka ylä- ja alapuolen monikulmioilla on eri pituiset säteet. Jos se vielä väännetään, sen symmetria supistuu sykliseksi symmetriaksi Cn kertalukua n.
| Tyyppi | Väännetty trapetsoedri | Asymmetrinen trapetsoedri | Asymmetrinen ja väännetty trapetsoedri | |
|---|---|---|---|---|
| Symmetria | Dn, (nn2), [n,2]+ | Cnv, (*nn), [n] | Cn, (nn), [n]+ | |
| Kuva (n=6) |
|
|
|
|
| Verkko | 
|
|
|
|
Muodot
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]n-trapetsoedrillä on 2n nelikulmaista tahkoa ja 2n+2 kärkeä. Kärjistä kaksi on polaarisella akselilla, muut sijaitsevat kahdella eri tasolla olevan säännöllisen n-kulmion kärjissä.
| Trapetsoedrit V.n.3.3.3 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pohjana monitahokas | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Pallopinnan laatoitukset | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Konfiguraatio | V2.3.3.3 | V3.3.3.3 | V4.3.3.3 | V5.3.3.3 | V6.3.3.3 | V7.3.3.3 | V8.3.3.3 | ...V10.3.3.3 | ...V12.3.3.3 | ...V∞.3.3.3 |
Erikoistapauksia:
- n=2: Degeneroitunut muoto, muodostaa geometrisen tetraedrin, jolla on 6 kärkeä, 8 särmää ja tahkoina 4 kolmiota. Näiden kolmioiden voidaan ajatella syntyneen siten, että leijan kaksi vierekkäistä, yhtä suurta sivua ovat samalla suoralla. Tämän duaalikappale on antiprisman degeneroitunut muoto, joka sekin on tetraedri.
- n=3: Kyseessä on kolmikulmaisen antiprisman duaalikappale, jonka tahkot ovat neljäkkäitä tai neliöitä, minkä vuoksi nämä trapetsoedrit ovat samalla zonoedreja. Niitä sanotaan romboedreiksi. Ne ovat ikään kuin kuutioita, joita mahdollisesti on venytetty yhden avaruuslävistäjänsä suunnassa. Samalla ne ovat suuntaissärmiöitä, joilla on yhtenevät neljäkkään muotoiset tahkot.
60°:n romboedri rhombohedron, joka on sen leikkavilla tasoilla jaettu keskellä olevaksi säännölliseksi oktaedriksi ja kahdeksi säännölliseksi tetraedriksi. - Romboedristä on olemassa sellainen erikoistapaus, jossa sen tahkojen kulmat ovat 60° ja 120°. Tällainen romboedri voidaan jakaa kahdeksi säännölliseksi tetraedriksi ja säännölliseksi oktaedriksi. Koska suuntaissärmiöillä voidaan täyttää tila, voidaan samoin tehdä myös yhdistelmällä tetraedreja ja oktaedreja, vaikka tilaa ei voidakaan täyttää pelkillä tetraedreilla eikä pelkillä oktaedreilla.
Sovelluksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Eräissä kidehiloissa atomit ovat sijoittuneet tilaan sillä tavoin, että ne muodostavat kolmikulmaisia tai kuusikulmaisia trapetsoedrin muotoisia soluja.[4]
- Viisikulmainen trapetsoedri on ainoa Platonin kappaleisiin kuulumaton monitahokas, jota yleisesti käytetään arpanoppana, pääasiassa eräissä roolipeleissä kuten Dungeons & Dragons. Koska sillä on 10 tahkoa, sitä toistuvasti heittämällä voidaan valita satunnaisesti desimaaliluku, jossa on haluttu määrä desimaaleja. Tyypillisesti käytetään kahta eriväristä noppaa, joilla saadaan valituksi satunnaisesti jokin kokonaisluvuista väliltä 00 .. 99.
Tähtitrapetsoedrit
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]On olemassa myös itsensä leikkaavia trapetsoedrejä, joiden keskuskuviona on tähtimonitahokas. Ne määritellään leijan muotoisten tahkojen avulla, jotka yhdistävät monikulmion sivut kahteen annettuun pisteeseen. Tähtitrapetsoedreja merkitään murtoluvuilla samaan tapaan kuin tähtimonikulmioitakin, ja p/q-trapetsoedrin Coxeterin diagrammi on 
.
| 5/2 | 5/3 | 7/2 | 7/3 | 7/4 | 8/3 | 8/5 | 9/2 | 9/4 | 9/5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
|
 
|
 
|
|
 
|
 
|
|
 
|
|
|
| 10/3 | 11/2 | 11/3 | 11/4 | 11/5 | 11/6 | 11/7 | 12/5 | 12/7 | |
 
|
 
|
|
|
|
 
|
|
 
|
|
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Anthony Pugh: ”Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. Berkeley, Kalifornia: University of California Press. ISBN 0-520-03056-7
Viitteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Norman Johnson: ”Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c”, Geometries and Transformations. Cambridge University Press, 2018. ISBN 978-1-107-10340-5 (englanniksi)
- ↑ a b Trapezohedron Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 12.2.2019. (englanniksi)
- ↑ Daniel N. Lapedes: ”Trapezohedron”, Dictionary of Physics and Mathematics, s. 1003. McGraw–Hill, 1978. ISBN 0-07-045480-9 (englanniksi)
- ↑ Promorphology of Chrystals, II: Trigonal-trapezohedric Class, 3 2 ja Hexagonal-trapezohedric Class, 6 2 2 metafysica.nl. Viitattu 12.2.2019. (englanniksi)