Pavare pătrată

Descriere
Pavare pătrată

Tip	pavare uniformă
Configurația vârfului	4.4.4.4 (sau 4⁴)
Configurația feței	V4.4.4.4 (sau V4⁴)
Simbol Wythoff	4 \| 2 4
Simbol Schläfli	{4,4} {∞}×{∞}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	p4m, [4,4], (*442)
Grup de rotație	p4, [4,4]⁺, (442)
Poliedru dual	autoduală
Proprietăți	tranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea pătrată, teselarea pătrată sau grila pătrată este o pavare regulată a planului euclidian. Are simbolul Schläfli ${4,4},$ ceea ce înseamnă că are 4 pătrate în jurul fiecărui vârf.

Unghiul intern al pătratului este de 90°, astfel încât patru pătrate în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.

Colorarea uniformă

Există 9 colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate. Enumerarea culorilor prin indici pe cele 4 pătrate din jurul unui vârf este: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Cazurile (i) au simetrie de reflexie simplă, iar cele (ii) simetrie de reflexie translată. Trei pot fi văzute în același domeniu de simetrie drept colorări reduse: 1112_i din 1213, 1123_i din 1234 și 1112_ii redus de la 1123_ii.

9 colorări uniforme
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (*2222)		cmm (2*22)

Poliedre și pavări înrudite

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări regulate, extinzându-se în planul hiperbolic: {4,p}, p=3,4,5...

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {4,n}
Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Această pavare este, de asemenea, legată din punct de vedere topologic, ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, începând cu octaedrul, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n progresând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice		Euclidiană	Pavări hiperbolice

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)²
Simetrie *4n2 [n,4]	Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracompactă	Necompactă
Simetrie *4n2 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Pavare Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4
Simetrie *n42 [n,4]	Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
Simetrie *n42 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Figuri expandate
Config.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Figuri rombice config.	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Construcții Wythoff la pavarea pătrata

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea pătrată regulată.

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme distincte din punct de vedere topologic: pavare pătrată, pavare pătrată trunchiată și pavare pătrată snub.

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duale uniforme


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Pavări topologic echivalente

Pavările izoedrice au fețe identice (sunt tranzitive pe fețe) și pe vârfuri, există 18 variante, cu 6 identificate prin triunghiuri care nu se conectează „latură la latură”, sau ca patrulatere cu două laturi coliniare. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.^[1]

Pot fi realizate și alte pavări cu patrulatere, care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pătratele (4 patrulatere în jurul fiecărui vârf).


O variantă izogonală cu două tipuri de fețe, văzute ca o pavare pătrată snub cu perechi de triunghiuri combinate în romburi	Pavările pătrate topologice pot fi realizate cu fețe concave și cu mai mult de o latură în comun la două fețe; această variantă are 3 laturi comune	O variantă 2-izoedrică cu fețe rombice

Pavări patrulatere izoedrice
Pătrat p4m, (*442)	Dreptunghi pmm, (*2222)	Paralelogram p2, (2222)	Paralelogram pmg, (22*)	Romb cmm, (2*22)


Trapez cmm, (2*22)	Patrulater pgg, (22×)	Romboid pmg, (22*)	Patrulater pgg, (22×)	Patrulater p2, (2222)

Patrulatere degenerate sau triunghiuri care nu sunt aliniate latură la latură
Isoscele pmg, (22*)	Isoscele pgg, (22×)		Scalene pgg, (22×)		Scalene p2, (2222)

Note

^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)

Bibliografie

en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”.
en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 36. ISBN 0-486-23729-X.
en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

Materiale media legate de pavare pătrată la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Square Grid la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Regular tessellation la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.

Portal Matematică

v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E²	Pavare uniformă	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Hexagonală
E³	Fagure convex uniform	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	4-fagure uniform	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	Fagure 24-celule
E⁵	5-fagure uniform	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	6-fagure uniform	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	7-fagure uniform	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	8-fagure uniform	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E^n-1	(n−1)-fagure uniform	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)

[1]