Երկուական լոգարիթմ

Երկուական լոգարիթմ-դա լոգարիթմն է 2 հիմքով։ Այլ կերպ ասած․ ${\displaystyle b}$ թվի երկուական լոգարիթմը ${\displaystyle 2^{x}=b}$ հավասարման լուծումն է։ ${\displaystyle b}$ իրական թվի երկուական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե ${\displaystyle b>0}$։Համաձայն ISO 31-11 ստանդարտի, այն նշանակյվում է^[1] ${\displaystyle \operatorname {lb} b,}$ ${\displaystyle \operatorname {lb} (b)}$ կամ ${\displaystyle \log _{2}b}$։ Օրինակներ․

${\displaystyle \operatorname {lb} 1=0;\,\operatorname {lb} 2=1;\,\operatorname {lb} 16=4}$

${\displaystyle \operatorname {lb} 0{,}5=-1;\,\operatorname {lb} {\frac {1}{256}}=-8}$։

Երկուական լոգարիթմը իր առաջին կիրառությունը գտել է երաժշտության տեսության մեջ, երբ Լեոնարդ Էյլերը սահմանեց, որ երկու երաժշտական տոների հաճախությունների հարաբերության երկուական լոգարիթմը հավասար է այն օկտավաների քանակին, որոնք բաժանում են մի տոնը մյուսից։ Էյլերը հրապարակեց նաև 1-ից մինչև 8 ամբողջ թվերի երկուական լոգարիթմների աղյուսակը՝ յոթ տասնորդական ճշտությամբ^[2][3]։ Ինֆորմատիկայում էլ պարզ դարձավ, որ ինֆորմացիայի կոդավորման գործընթացում բիթերի քանակը հաշվելիս նույնպես կա երկուական լոգարիթմի անհրաժեշտությունը։ Այն կիրառվում է նաև կոմբինատորիկայում, բիոինֆորմատիկայում, կրիպտոգրաֆիայում և լուսանկարչությունում։ Երկուական լոգարիթմը կիրառվում է նաև ծրագրավորման համակարգերում։

Աղյուսակում ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները դրական են^[4]։

	Բանաձևը	Օրինակ
Արտադրյալ	${\displaystyle \operatorname {lb} (xy)=\operatorname {lb} (x)+\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (256)=\operatorname {lb} (16\cdot 16)=\operatorname {lb} (16)+\operatorname {lb} (16)=4+4=8}$
Քանորդ	${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operatorname {lb} (x)-\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} \left({\frac {1}{32}}\right)=\operatorname {lb} (1)-\operatorname {lb} (32)=0-5=-5}$
Աստիճան	${\displaystyle \operatorname {lb} (x^{p})=p\operatorname {lb} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (1024)=\operatorname {lb} (2^{10})=10\operatorname {lb} (2)=10}$
Արմատ	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatorname {lb} (x)}{p}}}$	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt {8}}={\frac {1}{2}}\operatorname {lb} 8={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Կան նաև բանաձևերի ընդհանրացումները այն դեպքերի համար, երբ փոփոխականները բացասական են․

${\displaystyle \operatorname {lb} |xy|=\operatorname {lb} (|x|)+\operatorname {lb} (|y|),}$

${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\operatorname {lb} (|x|)-\operatorname {lb} (|y|)}$։

Բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել նաև ցանկացած քանակի արտադրիչների համար․

${\displaystyle \operatorname {lb} (x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\operatorname {lb} (x_{1})+\operatorname {lb} (x_{2})+\dots +\operatorname {lb} (x_{n})}$։

Կապը տասնորդական և բնական լոգարիթմների միջև․

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}$

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 3{,}321928\lg x}$։

Եթե լոգարիթմվող թիվը դիտարկենք որպես փոփոխակն, ապա կստանանք ${\displaystyle y=\operatorname {lb} x}$ լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշվածէ բոլոր ${\displaystyle x>0}$ համար, արժեքների տիրույթն է՝ ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը հաճախ անվանում են լոգարիթմական, որը ${\displaystyle y=2^{x}}$ ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է։ Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի է ամենուրեք, որտեղ նա որոշված է։Ածանցյալի բանաձևն է^[5]․

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {lb} x={\frac {\operatorname {lb} e}{x}}}$

Աբցիսների առանցքը՝ ${\displaystyle (x=0)}$ հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ․

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {lb} x=-\infty }$։

${\displaystyle N}$ բնական թվի երկուական լոգարիթմը հնարավորություն է տալիս հաշվելու ${\displaystyle b(N)}$ թվի թվանշանների քանակը այդ թվի համակարգչային ներկայացման մեջ․

${\displaystyle b(N)=\lfloor \operatorname {lb} N\rfloor +1}$ (փակագիծը նշանակում է թվի ամբողջ մասը)։

Եթե երկուական ծառը պարունակում է ${\displaystyle n}$ հանգույց, ապա նրա բարձրությունը փոքր չէ ${\displaystyle \log _{2}n}$ (հավասարություն կստացվի այն դեպքում, երբ ${\displaystyle n}$-ը հանդիսանում է 2-ի աստիճան)^[6]։

Օլիմպիական խաղերի օղակների թիվը հավասար է մրցումների մասնակիցների թվի երկուական լոգարիթմին^[7]։

Երաժշտության մեջ, որպեսզի որոշվի, թե քանի մասի է բաժանվում օկտավան, անհրաժեշտ է որոշել ${\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585}$ թվի ռացիոնալ մոտարկումը։ Եթե այն վերածվի սովորական կոտորակի՝ (7/12) ապա կհիմնավորվի օկտավան 12 կիսատոների դասական բաժանումը^[8]։

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

• Binary Logarithm - from Wolfram MathWorld