Կոմպլեքս անալիզ

Կոմպլեքս անալիզ^[1], կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն (կարճ՝ ԿՓՖՏ) մաթեմատիկական անալիզի բաժին, որում դիտարկվում և ուսումնասիրվում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաները։

Յուրաքանչյուր կոմպլեքս ֆունկցիա ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ կարելի է դիտարկել որպես երկու իրական փոփոխականների ֆունկցիաների զույգ։ ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$ համապատասխանաբար սահմանելով դրա իրական և կեղծ մասերը, ${\displaystyle u,v}$ ֆունկցիաները կոչվում են ${\displaystyle f(z)}$ կոմպլեքս ֆունկցիայի բաղադրիչներ։

Հետագայում, եթե խոսում ենք կոմպլեքս ֆունկցիայի սահմանափակության մասին, նկատի ունենք նրա մոդուլի սահմանափակությունը (որից հետևում է, որ երկու բաղադրիչներն էլ սահմանափակված են)։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահման հասկացությունը ներկայացվում է այնպես, ինչպես իրական թվերի դեպքում, բացարձակ արժեքը փոխարինվում է կոմպլեքս մոդուլով։ Եթե ${\displaystyle \lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi}$, դա ${\displaystyle \lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A}$ և ${\displaystyle \lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B}$․ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ բաղադրիչների սահմանների առկայությունից բխում է բուն ֆունկցիայի սահմանի առկայությունը, իսկ սահմանի բաղադրիչները կլինեն բաղադրիչների սահմանները։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի անընդհատությունը նույնպես որոշվում է այնպես, ինչպես իրական փոփոխականի դեպքում, և այն համարժեք է նրա երկու բաղադրիչների անընդհատությանը ^[2]։

Իրական ֆունկցիաների սահմանի և անընդհատության մասին բոլոր հիմնական թեորեմները գործում են նաև կոմպլեքս ֆունկցիաների դեպքում, եթե այս ընդլայնումը կապված չէ կոմպլեքս մեծությունների համեմատության հետ փոքր թե մեծ։ Օրինակ, անընդհատ ֆունկցիայի միջանկյալ արժեքների վերաբերյալ թեորեմի անալոգը չկա։

${\displaystyle z_{0}}$ թվի ${\displaystyle \varepsilon }$ շրջակայք սահմանվում է այն ${\displaystyle z}$ կետերի բազմությունը, որոնք հեռու են ${\displaystyle z_{0}}$ կետից ավելի քիչ քան ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle |z-z_{0}|<\varepsilon }$

Կոմպլեքս հարթության վրա ${\displaystyle \varepsilon }$ շրջակայքը իրենից ներկայացնում է շրջանի ներսը^[2] ${\displaystyle \varepsilon }$ շառավղով և ${\displaystyle z_{0}}$ կենտրոնով։

Կոմպլեքս անալիզում հաճախ օգտակար է դիտարկել ընդլայնված կոմպլեքս հարթությունը^[3], որը լրացվում է անվերջ հեռու կետով ${\displaystyle z=\infty }$։ Սա նշանակում է, որ սովորական կոմպլեքս հարթությունում ներառված չէ ${\displaystyle z=\infty }$ կետը (անվերջ հեռու կետը)։

Այս մոտեցմամբ անվերջ աճող (մոդուլով) հաջորդականությունը համարվում է, որ զուգամիտում է անվերջ հեռու կետին։ Անվերջ հեռու կետի հետ հանրահաշվական գործողություններ չեն կատարվում, չնայած կան մի քանի հանրահաշվական հարաբերություններ՝

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}$
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}$

Անվերջ հեռու կետի ${\displaystyle \varepsilon }$ շրջակայք է համարվում այն ${\displaystyle z}$ կետերի բազմությունը, որոնց մոդուլը մեծ է ${\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon }}}$–ից։

Մեկ փոփոխականի կոմպլեքս ֆունկցիայի ${\displaystyle w=f(z)}$ ածանցյալը որոշվում է այնպես, ինչպես իրական փոփոխական ֆունկցիայի համար^[4]

${\displaystyle f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}.}$

Եթե գոյություն ունի այդ սահմանը, ապա ֆունկցիան անվանում են դիֆերենցվող կամ հոլոմորֆ ֆունկցիա։

Որտեղ

${\displaystyle f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),}$ որտեղ ${\displaystyle o}$ — «o» փոքր։

Պետք է հաշվի առնել մեկ կարևոր հատկանիշ՝ քանի որ կոմպլեքս ֆունկցիան տրված է հարթության վրա, վերը նշված սահմանի առկայությունը նշանակում է, որ ${\displaystyle z}$–ին ձգտելիս ցանկացած ուղղությամբ այդ սահմանը նույնն է։ Այս փաստը զգալի սահմանափակումներ է դնում բաղադրիչ –ֆունկցիաների տեսքի վրա ${\displaystyle u,\;v}$ և որոշում է նրանց խիստ հարաբերությունները ( Կոշի-Ռիմանի պայմանները, որոնք նաև հայտնի են որպես Էյլեր-Դ'Ալեմբերտի պայմաններ)^[4]։

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}},}$

կամ,եթե ավելի կարճ

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{i\partial y}}.}$

Դրանից բխում է, որ ${\displaystyle u}$ և ${\displaystyle v}$ բաղադրիչների դիֆերենցելիությունը բավարար չէ, որ ֆունկցիան լինի դիֆերենցելի։

Ավելին, գոյություն ունեն հետևյալ հատկությունները, որոնք տարբերակում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունը իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունից^[4]։

• Ցանկացած կոմպլեքս ֆունկցիա, որը դիֆերենցելի է z կետի ինչ–որ շրջակայքւմ դիֆերենցելի է անվերջ անգամ և անալիտիկ է, այսինքն՝ այդ կոմպլեքս ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը զուգամիտում է տվյալ ֆունկցիային այդ շրջակայքի բոլոր կետերում (գրականության մեջ, անալիտիկ ֆունկցիա տերմինի հետ մեկտեղ, օգտագործվում են նաև նրա հոմանիշները՝ « հոլոմորֆ ֆունկցիա », « ռեգուլյար ֆունկցիա»)։
• ( Լյուվիլի թեորեմ ) Եթե ֆունկցիան դիֆերենցելի է ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա և հաստատուն չէ, ապա դրա մոդուլը չի կարող սահմանափակվել։
• Դիֆերենցելի կոմպլեքս ֆունկցիայի երկու բաղադրիչներն էլ հարմոնիկ ֆունկցիաներ են, այսինքն՝ բավարարում են Լապլասի հավասարմանը .

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}$

• Ցանկացած հարմոնիկ ֆունկցիա կարող է լինել դիֆերենցելի ֆունկցիայի կամ իրական կամ կեղծ բաղադրիչ։ Այս դեպքում մյուս բաղադրիչը որոշվում է միարժեքորեն(Կոշի-Ռիմանի պայմաններից)

Այսպիսով, ցանկացած դիֆերենցելի կոմպլեքս ֆունկցիա– ֆունկցիա է, որը ունի հետևյալ տեսքը ${\displaystyle u+iv}$, որտեղ ${\displaystyle u,\;v}$ փոխկապակցված երկու փոփո��ականի հարմոնիկ ֆունկցիաներ են։

Ենթադրենք ${\displaystyle f(z)}$ և ${\displaystyle g(z)}$ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ տիրույթում։ Ապա ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$ և ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$ նույնպես դիֆերենցելի են այդ նույն տիրույթում։ Եթե ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle G}$ տիրույթում չի դառնում զրո, ապա ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ կլինի դիֆերենցելի ${\displaystyle G}$ տիրույթում։ Ֆունկցիայի համադրույթը(ֆունկցիայի կոմպոզիցիա) ${\displaystyle f(g(z))}$ դիֆերենցելի է ամենուրեք, որտեղ որոշված է։ Եթե ${\displaystyle w=f(z)}$ ֆունկցիայի ածանցյալը չի դառնում զրո ${\displaystyle G}$ տիրույթում, ապա գոյություն ունի ${\displaystyle w=f(z)}$ֆունկցիային հակադարձ ֆունկցիա ${\displaystyle z=\varphi (w)}$ որը կլինի դիֆերենցելի։

Գումարի, տարբերության, արտադրյալի, բաժանման, ֆունկցիայի կոմպոզիցիա և հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկվում է նույն բանաձևերով, ինչ իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության մեջ։

Յուրաքանչյուր կոմպլեքս ֆունկցիա ${\displaystyle w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$ որոշում է ${\displaystyle (x,\;y)}$կոորդինատներով կոմպլեքս հարթության որոշակի արտապակերում այլ կոմպլեքս հարթության վրա ${\displaystyle (u,\;v)}$ կոորդինատներով։ Այս դեպքում արտահայտությունը

${\displaystyle \left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)}$

եթե հ փոքր է երկրաչափորեն կարելի է մեկնաբանել,որպես մասշտաբայնության գործակաից, որը կատարում է տվյալ արտապատկերումը,երբ ${\displaystyle z}$ կետից տեղափոխվում է դեպի ${\displaystyle z+h}$։ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}k(h)}$ սահմանի գույությունը,այսինքն ${\displaystyle |f^{\prime }(z)|=k}$ ածանցյաի մոդուլը, նշանակում է, որ մասշտաբայնության գործակաիցը նույնն է ${\displaystyle z}$ կետի ցանկացած ուղղությամբ, այսինքն կախված չէ ուղղությունից։ Ընդհանուր դեպքում մասշտաբայնության գործակաից կետից կետ փոփոխվում է ^[5]։

Եթե մասշտաբայնության գործակաիցը ${\displaystyle k>1}$,ապա ${\displaystyle z}$ կետի շրջակայքում կետերի միջև եղած հեռավորությունը մեծանում է և մասշտաբայնության գործակիցը կոչվում է ձգման գորխակից։ Եթե մասշտաբայնության գործակաիցը ${\displaystyle k<1}$,ապա ${\displaystyle z}$ կետի շրջակայքում կետերի միջև եղած հեռավորությունը փոքրանում է և մասշտաբայնության գործակիցը կոչվում է սեղմման գորխակից։ Օրինակ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+2z-1}$ ֆունկցիայի համար, ${\displaystyle z=1}$ կետում Ածանցյալը հավասար է 4–ի, հետևաբար բոլոր երկարությունները մեծանում են չորս անագամ։

Ինչ վերաբերում է ածանցյալի արգումենտին, ապա այն որոշում է տվյալ ${\displaystyle z}$ կետով անցնող հարթ կորի պտտման անկյունը.Այս արտապատկերման դեպքում բոլոր հարթ կորերը պտտվում են նույն անկյան տակ։ Անկյունները պահպանող արտապատկերումները կոչվում են կոնֆորմալ ; այսպիսով, ցանկացած դիֆերենցելի կոմպլեքս ֆունկցիա սահմանում է կոնֆորմալ արտապատկերում (այն տիրույթում, որտեղ նրա ածանցյալը չի դառնում զրո) ^[6]։ Այս փաստը կապված է քարտեզագրության և հիդրոդինամիկայի մեջ կոմպլեքս ֆունկցիաների լայն կիրառման հետ^[7]։

Կոմպլեքս ֆունկցիայի նախնական հասկացությունը ներմուծվում է այնպես, ինչպես իրականի դեպքում։ Սակայն ${\displaystyle a}$ –ից ${\displaystyle b}$ հատվածում որոշյալ ինտեգրալի անալոգը կոմպլեքս հարթության վրա ընդհանուր առմամբ սահմանված չէ, պատճառն այն է,որ սկզբնակետից մինչև վերջնակետ եղած ճանապարհի որոշումը միարժեք չէ(որոշելու տարբեր եղանակներ կան)։ Այդ պատճառով կոմպլեքս ինտեգրալի հիմնական տեսակը համարվում է կորագիծ ինտեգրալը,որը կախված է կոնկրետ ինտեգրման ճանապարհից։ Ստորև նշվելու են այն պայմանները, որոնց կատարման դեպքում ինտեգրալը կախված չէ ուղուց, և այդ դեպքում ինտեգրալը "կետից կետ" կարող է ճիշտ որոշվել։

Թող ${\displaystyle z=z(t)}$ հավասարումը որտեղ t պարամետրը ուղղված է ինչ-որ սկզբնական a արժեքից դեպի վերջնական b արժեք, սահմանում է որոշ ${\displaystyle \gamma }$ կորի հարթ կտոր կոմպլեքս հարթության մեջ, որը օժտված է ուղղությամբ, և ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիան որոշված է այս կորի կետերում։ Ուղղությունը, որով պարամետրը շարժվում է, որոշում է կորի հատուկ շրջանցումը միևնույն ժամանակ, կարևոր չէ, թե որն է ավելի մեծ b թե a–ն^[8] Պարամետրացման հատվածը բաժանեք հետևյալի ${\displaystyle n}$ հավասար մասեր ${\displaystyle t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon }$

• ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,}$ եթե a < b
• կամ ${\displaystyle a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,}$ եթե a > b

և դիտարկենք ինտեգրալային գումարը

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z(t_{k-1}){\big )}}$

Այս գումարի սահմանը՝ եթե ${\displaystyle n}$–ը անսահմանափակ աճում է կոչվում է (կոմպլեքս) ինտեգրալ (ուղղված) ${\displaystyle \gamma }$ կորի վրա ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայից, այն նշանակվում է

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz.}$

Ցանկացած ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի համար, անընդհատ ${\displaystyle \gamma }$–ի երկայնքով, այս ինտեգրալը գոյություն ունի և կարող է հաշվարկվել սովորական իրական ինտեգրալի միջոցով ըստ պարամետրի։

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).}$

Այստեղ ${\displaystyle u,\;v}$  ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի կոմպոնենտներն են։ Այս վերոնշյալ ներկայացումից կարելի նկատել, որ կոմպլեքս ինտեգրալի հատկությունները նման են իրական փոփոխականի երկրորդ տիպի կորագիծ ինտեգրալի հատկություններին։

Առանձնահատուկ գործնական հետաքրքրություն են ներկայացնում ինտեգրալները (փակ) կոնտուրի վրա, այսինքն՝ հատվածաբար հարթ կորի վրա՝ առանց ինքնահատվող կետերի, որի ելակետը համընկնում է ավարտի կետի հետ։ Կոնտուրը կարելի է անցնել երկու ուղղությամբ։ Դրական է համարվում այն ուղղությունը,երբ շարժման ժամանակ կոնտուրով սահմանափակված ներսի մասը գտնվում է դեպի ձախ։

Եթե ${\displaystyle \gamma }$ կորը կազմում է փակ կոնտուր, ապա օգտագործվում է հատուկ նշանակում

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz.}$

Երբեմն շրջանի վրա նշում են սլաք, որը ցույց է տալիս ուղղությունը՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ հակառակ ուղղությամբ։

Կոշիի ինտեգրալ թեորեմը գործում է՝ ցանկացած ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի համար, որը անալիտիկ է միակապ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$ տիրույթում և ցանկացած փակ կոնտուրի համար ${\displaystyle \gamma \subseteq A}$ դրա ինտեգրալը հավասար է զրոյի։

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0{.}}$

Հետրանք թող ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիան անալիտիկ է ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} ,}$ միակապ տիրույթում և ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ կետերը ${\displaystyle A}$ տիրույթից կապված են ${\displaystyle \gamma }$ կորով։ Այդ ժամանակ ${\displaystyle \textstyle \int _{\gamma }f(z)dz}$ ինտեգրալը կախված է միայն ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$, կետերից,բայց կախված չէ այդ կետերը միացնող կորի ընտրությունից, այնպես որ կարող ենք նշանակել այսպես ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz}$

Եթե կատարված են Կոշիի թեորեմի պայմանները, ապա կարող ենք ներմուծել անորոշ ինտեգրալի հասկացությունը ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի համար։ Դրա համար ֆիքսենք տիրույթի ներսում ինչ–որ ${\displaystyle z_{0}}$ կետ և դիտարկենք ինտեգրալը

${\displaystyle F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}}$

${\displaystyle F'(z)}$ ածանցյալը հավասար է ${\displaystyle f(z)}$, այդ պատճառով ${\displaystyle F(z)}$–ը ${\displaystyle f(z).}$–ի նախնականն է։ Նախնականները որոնք տարբերվում են հաստատունով (կախված ${\displaystyle z_{0}}$–ի ընտրությունից ) կազմում են անորոշ ինտեգրալ։ Տեղի ունի Նյուտոն–Լայբնիցի թեորեմը^[9]։

${\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).}$

Գոյություն ունի Կոշիի ինտեգրալային թեորեմի ընդհանրացում բազմակապ տիրույթի համար. եթե ֆունկցիան անալիտիկ է փակ բազմակապ տիրույթում, ապա այդ ինտեգրալը տիրույթի արտաքին եզրագծի երկայնքով հավասար է բոլոր ներքին կոնտուրների ինտեգրալների գումարին ( նույն ուղղությունը, ինչ արտաքին երկայնքով) ^[10]։ Այս ընդհանրացումը հարմար է կիրառելի, եթե տիրույթը պարունակում է ֆունկցիայի եզակի կետ ( ներքևում եզակի կետի սահմանումը), որտեղ ֆունկցիան անալիտիկ չէ կամ սահմանված չէ։

Այլ հզոր գործիքներ կոմպլեոս և իրական ինտեգրալների ուսումնասիրության համար

• Կոշիի ինտեգրալային բանաձևը։
• մնացքների տեսության հիմնական թեորեմը։

${\displaystyle z_{0}}$ կետը կոչվում է ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի զրո,արտեղ ֆունկցիան դառնում է զրո ${\displaystyle f(z_{0})=0}$։

Անալիտիկ ֆունկցիաների զրոների թեորեմ Եթե ${\displaystyle D}$ տիրույթում անալիտիկ ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի զրոները ունեն ${\displaystyle D}$ տիրույթում սահմանային կետ,ապա ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիանամբողջ ${\displaystyle D}$ տիրույթում հավասար է զրոյի։

Հետևանք: եթե ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիան անալիտիկ է ${\displaystyle D}$ տիրությում և նույնաբար հավասար չէ զրոյի այդ տիրույթում, ապա ցանկացած սահմնափակ փակ ենթատիրույթում ֆունկցիայի մոտ կարող է լինել վերջավոր թվով զրոներ։

Անալիտիկ ֆունկցիայի եզակիության թեորեմ Թոց ${\displaystyle \{z_{n}\}}$ ${\displaystyle D}$ տիրույթի տարբեր կետերի անվերջ զուգամիտող հաջորդականությունն է։ Եթե ${\displaystyle f(z),g(z)}$ երկեւ անալիտիկ ֆունկցիաներ համընկնում են հաջորդականության բոլոր կետերում, ապա այդ ֆունկցիաները նույնաբար հավասար են ${\displaystyle D}$ տիրույթում։

Մասնավորապես, եթե երկու անալիտիկ ֆունկցիաներ համընկնում են որոշակի հատվածային հարթ կորի վրա ${\displaystyle D}$ տիրույթում, ապա դրանք ամենուր համընկնում են ${\displaystyle D}$–ում։ Սա նշանակում է, որ անալիտիկ ֆունկցիայի արժեքները, նույնիսկ տիրույթի փոքր տարածքում, լիովին որոշում են ֆունկցիայի վարքագիծը ամբողջ որոշման տիրույթում։ Սահմանելով անալիտիկ ֆունկցիա կորի վրա (օրինակ՝ իրական առանցքի վրա), մենք միարժեքորեն սահմանում ենք դրա ընդլայնումը (եթե հնարավոր է) դեպի ավելի լայն տիրույթ, որը կոչվում է սկզբնական ֆունկցիայի անալիտիկ շարունակություն։

Անալիզի բոլոր ստանդարտ ֆունկցիաները՝ բազմանդամ,կոտորա–գծային ֆունկցիա,աստիճանային ֆունկցիա,էքսպոնենտ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ,Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ,լոգարիթմ թույլ են տալիս անալիտիկ շարունակություն կոմպլեքս հարթության վրա։ Այս դեպքում դրանց անալիտիկ շարունակությունների համար տեղի կունենան նույն հանրահաշվական, դիֆերենցիալ և այլն, ինչ տեղի է ունենում իրական դեպքում, օրինակ

${\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.}$

Կոմպլեքս անալիզում թվային շարքի գումարի և զուգամիտության հայտանիշների սահմանումը գրեթե նույնն են ինչ իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության մեջ, բացարձակ արժեքը փոխարինվում է կոմպլեքս մոդուլով, բացառություն են կազմում միայն զուգամիտության հայտանիծները,որոնցում համեմատվում են շարքի էլեմենտների մեծ կամ փոքր լինելը,ոչ թե այդ էլեմենտների մոդուլները։

Ցանկացած ֆունկցիա,որը դիֆերենցելի է ${\displaystyle z_{0}}$ կետում վերլուծվում է այդ կետի շրջակայքում Թեյլորի շարքի։

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

Շարքի գործակիցները հաշվարկվում են սովորական բանաձևերով։ Այդ շարքը զուգամիտում է ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիայի որոշակի ${\displaystyle R}$ շառավղով ${\displaystyle z_{0}}$ կենտրոնով շրջանում,որը ներկայացնում է թվային իրական շարքի զուգամիտության հատվածի անալոգը։ Այդ շրջանի ներսը շարքը զուգամիտում է, իսկ շրջանից դուրս տարամիտում է։ Այս դեպում հնարավոր է 3 դեպք։

1. Շարքը զուգամիտում է վերջավոր և ոչ զրոյական շառավղով շրջանում։
2. Շարքը զուգամիտում է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, այսինքն ${\displaystyle R=\infty }$ . Նման ֆունկցիաները կոչվում են ամբողջ։

Մեծ գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում ֆունկցիայի վարքագիծի ուսումնասիրումը մեկուսացված եզակի կետի մոտ, այսինքն՝ այն կետի, որի հարևանությամբ ֆունկցիան անալիտիկ է, բայց բուն կետում այն կա՛մ անալիտիկ չէ, կա՛մ անորոշ է։ Աստիճանային շարքը այստեղ օգտակար չէ, ուստի ներկայացվում է ավելի ընդհանուր Լորանի շարքը։

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}}$

Եթե Լորանի շարքի զուգամիտության տիրույթը դատարկ չք, ապա այն իրենից ներկայացնում է շրջանաձև օղակ ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$։

Հիմնական թեորեմ Եթե ${\displaystyle f(z)}$ ֆունկցիան անալիտիկ է այդ շրջանաձև օղակում, ապա այն կարող է ներկայացվել այդ օղակում զուգամիտող Լորանի շարքով,և ներկայացվում է միարժեք։

Ինչպես և աստիճանային շարքի համար զուգամիտության օղակի սահմանները որոշվում են ֆունկցիայի եզակի կետերի բաշխմամբ։ Հիմնվելով Լորանի շարքի տեսքի վրա՝ մենք կարող ենք որոշ եզրակացություններ անել ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ ${\displaystyle z_{0}}$ կետի մատակայքում։

1. Վերացելի եզակի կետ եթե Լորանի շարքը ${\displaystyle z-z_{0}}$ բացասական աստիճաններով էլեմենտներ չի պարունակում,ապա դա ուղղակի աստիճանային շարք է, որը որոծում է ֆունկցիան ինր–որ շրջանում։ Շարքի գումարը այդ շրջանում վերջավոր է և կարող է տարբերվել ${\displaystyle f(z)}$–ից միայն ${\displaystyle z_{0}}$ կետում,ապա բավարար է նորից որոշել ${\displaystyle f(z_{0})}$,որպեսզի ֆունկցիան դառնա անալիտիկ ամբողջ շրջանում։ Տեղի ունի հետևյալը,եթե ֆունկցիան ${\displaystyle z_{0}}$ կետի շրջակայքում սահմանափակ է և անալիտիկ, ապա ${\displaystyle z_{0}}$–ն վերացելի եզակի կետ է։
2. Բևեռ։ եթե Լորանի շարքը պարունակում է վերջավոր թվով ${\displaystyle z-z_{0}}$ բացասական աստիճաններով էլեմենտներ,ապա այդ դեպոքում ֆունկցիան ${\displaystyle z_{0}}$ կետում անվերջ է(ըստ մոդուլի)։
3. Էապես եզակի  կետ: եթե Լորանի շարքը պարունակում է անվերջ թվով ${\displaystyle z-z_{0}}$ բացասական աստիճաններով էլեմենտներ,ապա այդ դեպոքում ֆունկցիան ${\displaystyle z_{0}}$ կետում որոշված չէ։

Մնացքների տեսության միջոցով,որը կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության(ԿՊՖՏ) մաս է կազմում, հաշվարկվում են բարդ ինտեգրալներ փակ կոնտուրով։

Կոմպլեքս անալիզի միջոցներով բացատրում են որոշ կետեր, որոնք չեն կարող հեշտությամբ մեկնաբանվել իրական անալիզի տեսանկյունից։ Վերցնենք դասական օրինակ՝ ֆունկցիան

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

անընդհատ է և անվերջ դիֆերեցելի ամբողջ իրական առանցքի վրա։ Դիտարկենք այդ ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$

Այս շարքը զուգամիտում է միայն ${\displaystyle (-1;\;1)}$հատվածում։

Իրավիճակն ավելի պարզ է դառնում կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիային անցնելիս ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$, որն ունի երկու եզակի կետ. ${\displaystyle \pm i}$ . Համապատասխանաբար, այս ֆունկցիան կարելի է վերլուծել Թեյլորի շարքի միայն ${\displaystyle \Delta =\{z\colon |z|<1\}}$ շրջանում։

Համալիր վերլուծության հիմնարար աշխատանքը կապված է Էյլերի, Ռիմանի, Կոշիի, Վայերշտրասի և շատ այլ հայտնի մաթեմատիկոսների անունների հետ։ Կոնֆորմ արտապատկերուման տեսությունը սկսեց արագ զարգանալ ճարտարագիտության մեջ առկա կիրառությունների շնորհիվ, կոմպլեքս անալիզի մեթոդներն ու արդյունքները օգտագործվում են անալիտիկ թվերի տեսության մեջ։ Կոմպլեքս անալիզի հետաքրքրության նոր աճը կապված է կոմպլեքս դինամիկայի և ֆրակտալների տեսության հետ։

• Անալիտիկ ֆունկցիա
• Մնացք (կոմպլեքս անալիզ)
• Կոմպլեքս թիվ
• Կոմպլեքս հարթություն
• Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — М.: Наука, 1981. — 304 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0155-2
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.