Número irracional

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais (${\displaystyle \mathbb {N} }$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Primos (${\displaystyle \mathbb {P} }$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) Fraccións Reais (${\displaystyle \mathbb {R} }$) Positivos (${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$) / Negativos (${\displaystyle \mathbb {R} _{<0}}$) Irracionais (${\displaystyle \mathbb {I} }$) Alxébricos / Transcendentes (${\displaystyle \mathrm {Tr} }$) Números complexos (${\displaystyle \mathbb {C} }$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sedenións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\cdots }$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana
v c e

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

• π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
• e ((secuencia A001113 na OEIS) = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...):

${\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$

• ${\displaystyle \Phi }$ (Número áureo):${\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$
• Algúns logaritmos: ${\displaystyle \log _{2}{3}}$

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

${\displaystyle 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}}$

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que ${\displaystyle n^{2}\times 2=m^{2}}$ , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

${\displaystyle m^{2}=4k^{2}}$

Ou o que é o mesmo

${\displaystyle 2n^{2}=4k^{2}\rightarrow n^{2}=2k^{2}}$

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ non pode ser racional.

Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.

Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

onde os coeficientes ${\displaystyle a_{i}}$ son números enteiros e ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Un exemplo de número alxébrico irracional é ${\displaystyle x_{0}=(2^{1/2}+1)^{1/3}}$. É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro, ${\displaystyle (x^{3}-1)^{2}=2}$, que é equivalente a ${\displaystyle x^{6}-2x^{3}-1=0}$. Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero x₀ é maior que 1. Así que x₀ é un número alxébrico irracional.

Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$, polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e e si son transcendentes.

Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son ${\displaystyle e^{r}}$ e mais ${\displaystyle \pi ^{r}}$ que son transcendentais para todos os r racionais distintos de cero.

Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, ${\displaystyle 3\pi +2,\pi +{\sqrt {2}},e{\sqrt {3}}}$, son irracionais (e mesmo transcendentais).

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

• Varias combinacións de e, π e funcións elementais (como e + π, eπ, e^e, π^e, π^π, ln π) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que e e π sexan alxebricamente independentes. A conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.^[1]
• A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni γ é un problema aberto de longa data na teoría dos números.^[2]
• Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares ζ(5), ζ( 7), ζ(9), ... para n > 3 e a constante de Catalan β(2).^[3]

• Número.
• Matemáticas.
• Xerardo de Cremona.
• Medida da irracionalidade
• Proba da irracionalidade de π