Selles artiklis on vaidlustatud väiteid. Artikli sisu võib olla väär. Lisateavet vaidlustamise põhjuse kohta saad artikli arutelust.

See artikkel ootab keeletoimetamist. Kui oskad, siis palun aita artiklit keeleliselt parandada. (Kuidas ja millal see märkus eemaldada?)

See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Taylori rida. Lisateavet artikli arutelust

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

${\displaystyle f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse ${\displaystyle f(x)}$ vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja ${\displaystyle f\,}$ on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv ${\displaystyle \xi \in (a,x)}$ nii, et

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.}$

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R_{n}(x)}$

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R_{n}(x)}$

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni ${\displaystyle e^{x}\,}$ lähendamine x = 0 juures:

${\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ igale x-ile vahemikus }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

Kus B_s on Bernoulli numbrid.

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1 reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses diferentseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

• Maclaurini rida
• Laurent'i rida
• Analüütiline funktsioon

Salman Khan. "CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008" (xHTML) (inglise keeles). http://khanexercises.appspot.com/. Khan Academy. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

David Jerison. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x)" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Christine Breiner. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents: