Ümbrus

Ümbrus on matemaatiline mõiste, mis määratletakse kõige üldisemal kujul topoloogias, kuid mida kasutatakse ka teistes matemaatika harudes, näiteks matemaatilises analüüsis. Ümbrus on matemaatilises analüüsis kasutatava ε-ümbruse mõiste üldistus. Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata.

Olgu ${\displaystyle (X;\tau )}$ topoloogiline ruum.

Olgu ${\displaystyle p\in X}$ ja ${\displaystyle V\subset X}$. Hulka ${\displaystyle V}$ nimetatakse punkti ${\displaystyle p}$ ümbruseks, kui ${\displaystyle V}$ sisaldab mingit lahtist hulka ${\displaystyle U}$, millesse kuulub punkt ${\displaystyle p}$.

Punkti kõigi ümbruste hulka nimetatakse selle punkti ümbruste süsteemiks. Punkti ${\displaystyle p}$ ümbruste süsteemi tähistatakse ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\tau }(p)}$ või (kui on selge, missugust topoloogiat vaatleme) ${\displaystyle {\mathfrak {N}}(p)}$.

Olgu ${\displaystyle S\subset X}$ ja ${\displaystyle V\subset X}$. Hulka ${\displaystyle V}$ nimetatakse hulga ${\displaystyle S}$ ümbruseks, kui ${\displaystyle V}$ sisaldab mingit lahtist hulka ${\displaystyle U}$, mis sisaldab hulka ${\displaystyle S}$.

Seega hulk ${\displaystyle V}$ on hulga ${\displaystyle S}$ ümbrus parajasti siis, kui ${\displaystyle V}$ kõigi hulga ${\displaystyle S}$ punktide ümbrus.

Ümbrus ${\displaystyle V}$ ei pea ise lahtine olema. Kui ${\displaystyle V}$ on lahtine hulk, siis nimetatakse teda (punkti ${\displaystyle p}$ või hulga ${\displaystyle S}$) lahtiseks ümbruseks. Mõnedes allikates mõeldaksegi sõna ümbrus all aga lahtist ümbrust.

Olgu ${\displaystyle (X;\rho )}$ meetriline ruum, ${\displaystyle p\in X}$ ja ${\displaystyle \epsilon >0}$. Punkti ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon }$-ümbruseks ehk lahtiseks keraks keskpunktiga ${\displaystyle p}$ ja raadiusega ${\displaystyle \epsilon }$ nimetatakse siis hulka ${\displaystyle \{x\in X\ |\ \rho (x,p)<\epsilon \}}$.

Iga meetrilist ruumi võime vaadelda topoloogilise ruumina (vt alajaotust Meetriline ruum topoloogilise ruumina artiklis Topoloogiline ruum) ja nii saame meetrilises ruumis kasutada eeltoodud punkti ja hulga ümbruse definitsioone topoloogilises ruumis. Kui aga näiteks punkti ümbruse definitsioon meetrilise ruumi jaoks ilma topoloogia mõistet kasutamata lahti kirjutada, saame järgneva definitsiooni:

Olgu ${\displaystyle (X;\rho )}$ meetriline ruum, ${\displaystyle p\in X}$ ja ${\displaystyle V\subset X}$. Hulka ${\displaystyle V}$ nimetatakse punkti ${\displaystyle p}$ ümbruseks, kui ${\displaystyle V}$ sisaldab mingit lahtist kera keskpunktiga ${\displaystyle p}$.

Lihtne on veenduda, et eeltoodud punkti ümbruse definitsioonis sõnade "lahtine kera" asendamisel sõnadega "kinnine kera" või lihtsalt sõnaga "kera" (s. o. lahtine või kinnine kera) saaksime samaväärse definitsiooni.

Arvestades, et kõigi reaalarvude hulk ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on meetriline ruum kaugusega ${\displaystyle \rho (x,y)=\left|x-y\right|}$, määratletakse reaalteljel punkti ε-ümbrus ja ümbrus järgnevalt:

Olgu ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle \epsilon >0}$. Punkti ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$-ümbruseks nimetatakse vahemikku ${\displaystyle (x-\epsilon ,\ x+\epsilon )}$. Punkti ${\displaystyle x}$ ümbruseks nimetatakse iga reaalarvuhulka, mis sisaldab mingi ${\displaystyle \epsilon }$ korral punkti ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$-ümbrust.