Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η επέκταση του θεωρήματος Κρόνεκερ-Βέμπερ για τις αβελιανές προεκτάσεις των ρητών αριθμών σε οποιοδήποτε σώμα βασικών αριθμών. Είναι ένα από τα 23 μαθηματικά προβλήματα του Χίλμπερτ, τα οποία απαιτούν ανάλογα των ριζών της ενότητας που δημιουργούν μια ολόκληρη οικογένεια πρόσθετων αριθμητικών σωμάτων, κατ' αναλογία με τα κυκλοτομικά σώματα και τα υποσώματά τους. Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ περιέγραψε το πρόβλημα του μιγαδικού πολλαπλασιασμού^[1] ως το «αγαπημένο του νεανικό όνειρο», ή το «αγαπημένο όνειρο της νιότης του», γι' αυτό και το πρόβλημα είναι επίσης γνωστό ως το νεανικό όνειρο του Κρόνεκερ.

Η κλασική θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού, που σήμερα είναι συχνά γνωστή ως Κρόνεκερ Jugendtraum, επιτυγχάνει αυτό για την περίπτωση οποιουδήποτε φανταστικού τετραγωνικό σώμα, χρησιμοποιώντας modular συναρτήσεις και ελλειπτικές συναρτήσεις που επιλέγονται με ένα συγκεκριμένο πλέγμα περιόδων που σχετίζεται με το εν λόγω σώμα. Ο Γκόρο Σιμούρα επέκτεινε τη μέθοδο αυτή σε σώματα CM. Στην ειδική περίπτωση των ολικώς πραγματικών σωμάτων, οι Σαμίτ Ντασγκούπτα και Μαχές Κακντέ παρείχαν μια κατασκευή της μέγιστης αβελιανής επέκτασης των ολικώς πραγματικών σωμάτων χρησιμοποιώντας την εικασία Μπρούμερ-Σταρκ.

Η γενική περίπτωση του δωδέκατου προβλήματος του Χίλμπερτ είναι ακόμη ανοικτή.

Το θεμελιώδες πρόβλημα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών είναι η περιγραφή των σωμάτων των αλγεβρικών αριθμών. Το έργο του Γκαλουά κατέστησε σαφές ότι οι επεκτάσεις των σωμάτων ελέγχονται από ορισμένες ομάδες, τις ομάδες Γκαλουά. Η απλούστερη κατάσταση, η οποία βρίσκεται ήδη στα όρια του καλά κατανοητού, είναι όταν η εν λόγω ομάδα είναι αβελιανή. Όλες οι τετραγωνικές επεκτάσεις, που προκύπτουν από την πρόσθεση των ριζών ενός τετραγωνικού πολυωνύμου, είναι αβελιανές και η μελέτη τους ξεκίνησε από τον Γκάους. Ένας άλλος τύπος αβελιανής επέκτασης του σώματος Q των ρητών αριθμών δίνεται από την πρόσθεση των n-th ριζών της μονάδας, με αποτέλεσμα τα κυκλοτομικά σώματα. Ήδη ο Γκάους είχε δείξει ότι, στην πραγματικότητα, κάθε τετραγωνικό σώμα περιέχεται σε ένα μεγαλύτερο κυκλοτομικό σώμα. Το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ δείχνει ότι κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση του Q περιέχεται σε ένα κυκλοτομικό σώμα. Το ερώτημα του Κρόνεκερ (και του Χίλμπερτ) αφορά την κατάσταση ενός γενικότερου σώματος αλγεβρικών αριθμών Κ: ποιοι είναι οι αλγεβρικοί αριθμοί που είναι απαραίτητοι για την κατασκευή όλων των αβελιανών επεκτάσεων του Κ; Η πλήρης απάντηση σε αυτό το ερώτημα έχει βρεθεί μόνο όταν το Κ είναι ένα φανταστικό τετραγωνικό σώμα ή η γενίκευσή του, ένα σώμα CM

Η αρχική δήλωση του Χίλμπερτ για το 12ο πρόβλημά του είναι μάλλον παραπλανητική: φαίνεται να υπονοεί ότι οι αβελιανές επεκτάσεις των φανταστικών τετραγωνικών σωμάτων παράγονται από ειδικές τιμές των ελλειπτικών modular συναρτήσεων, πράγμα που δεν είναι σωστό. (Είναι δύσκολο να πούμε τι ακριβώς εννοούσε ο Χίλμπερτ, ένα πρόβλημα είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιούσε τον όρο «ελλειπτική συνάρτηση» για να εννοήσει τόσο την ελλειπτική συνάρτηση ℘ όσο και την ελλειπτική modular συνάρτηση j). Κατ' αρχάς είναι επίσης απαραίτητη η χρήση των ριζών της μονάδας, αν και ο Χίλμπερτ μπορεί να ήθελε σιωπηρά να τις συμπεριλάβει. Πιο σοβαρά, ενώ οι τιμές των ελλειπτικών modular συναρτήσεων δημιουργούν το σώμα της κλάσης Χίλμπερτ, για πιο γενικές αβελιανές επεκτάσεις χρειάζεται επίσης να χρησιμοποιηθούν τιμές ελλειπτικών συναρτήσεων. Παραδείγματος χάριν, η αβελιανή προέκταση ${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$ δεν παράγεται από ιδιάζον moduli και ρίζες της μονάδας.

Ένας ιδιαίτερα ελκυστικός τρόπος για να διατυπώσουμε το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ είναι να πούμε ότι η μέγιστη αβελιανή επέκταση του Q μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση των ειδικών τιμών exp(2πi/n) της εκθετικής συνάρτησης. Παρομοίως, η θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού δείχνει ότι η μέγιστη αβελιανή επέκταση της Q(τ), όπου τ είναι ένας φανταστικός τετραγωνικός ανορθολογισμός, μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση των ειδικών τιμών της ℘(τ, z) και j(τ) των modular συναρτήσεων j και των ελλειπτικών συναρτήσεων ℘, καθώς και των ριζών της μονάδας, όπου το τ είναι στο φανταστικό τετραγωνικό σώμα και το z αντιπροσωπεύει ένα σημείο στρέψης στην αντίστοιχη ελλειπτική καμπύλη. Μια ερμηνεία του δωδέκατου προβλήματος του Χίλμπερτ ζητά να δοθεί ένα κατάλληλο ανάλογο εκθετικών, ελλειπτικών ή modular συναρτήσεων, των οποίων ειδικές τιμές θα δημιουργούσαν τη μέγιστη αβελιανή επέκταση K^ab ενός γενικού αριθμητικού σώματος K. Με αυτή τη μορφή, το πρόβλημα δεν έχει επιλυθεί. Μια περιγραφή του σώματος K^ab προέκυψε από τη Πεδιακή θεωρία, που αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον Χίλμπερτ, τον Εμίλ Άρτιν και άλλους στο πρώτο μισό του 20ού αιώνα ^{[note 1]}. Ωστόσο, η κατασκευή του K^ab στη Πεδιακή θεωρία περιλαμβάνει πρώτα την κατασκευή μεγαλύτερων μη αβελιανών επεκτάσεων χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Κούμερ και στη συνέχεια την αναγωγή τους σε αβελιανές επεκτάσεις. Αυτό δεν λύνει πραγματικά το πρόβλημα του Χίλμπερτ, το οποίο απαιτεί μια πιο άμεση κατασκευή αβελιανών επεκτάσεων.

Οι εξελίξεις από το 1960 και μετά έχουν συμβάλει σίγουρα. Πριν από αυτό, ο Χέκε (1912) στη διατριβή του χρησιμοποίησε modular forms του Χίλμπερτ για να μελετήσει αβελιανές επεκτάσεις πραγματικών τετραγωνικών σωμάτων. Ο μιγαδικός πολλαπλασιασμός των αβελιανών ποικιλιών ήταν ένας τομέας που άνοιξε με το έργο των Σιμούρα και Τανιγιάμα. Αυτό οδηγεί σε αβελιανές επεκτάσεις των CM-σωμάτων γενικότερα. Το ερώτημα για το ποιες επεκτάσεις μπορούν να βρεθούν είναι αυτό των ενοτήτων Τέιτ τέτοιων ποικιλιών, ως παραστάσεις Γκαλουά. Καθώς αυτή είναι η πιο προσιτή περίπτωση της ℓ-adic συνομολογίας, οι παραστάσεις αυτές έχουν μελετηθεί σε βάθος.

Ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς υποστήριξε το 1973 ότι η σύγχρονη εκδοχή του Γιούντεντραουμ θα πρέπει να ασχολείται με τις συναρτήσεις ζήτα Χάσε-Βέιλ των ποικιλιών Σιμούρα. Ενώ ο ίδιος σχεδίαζε ένα εντυπωσιακό πρόγραμμα για να μελετήσει το θέμα σε βάθος, τριάντα και πλέον χρόνια αργότερα, παραμένουν σοβαρές αμφιβολίες ως προς τη σημασία του για το ερώτημα που έθεσε ο Χίλμπερτ.

Μια ξεχωριστή εξέλιξη ήταν η εικασία του Σταρκ (στην αβελιανή περίπτωση rank-one), η οποία, αντίθετα, ασχολήθηκε άμεσα με το ζήτημα της εύρεσης συγκεκριμένων μονάδων που δημιουργούν αβελιανές επεκτάσεις αριθμητικών σωμάτων και περιγράφουν κορυφαίους συντελεστές των συναρτήσεων L του Άρτιν. Το 2021, οι Ντασγκούπτα και Κάκντε ανακοίνωσαν μια p-adic λύση για την εύρεση της μέγιστης αβελιανής επέκτασης των ολικά πραγματικών πεδίων αποδεικνύοντας την ολοκληρωτική εικασία Γκρος-Σταρκ για τις μονάδες Μπρούμερ-Σταρκ.^[2][3]

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

• Ελλειπτική συνάρτηση
• Ποικιλία Σιμούρα
• Κυκλοτομικό σώμα
• Τετραγωνικό σώμα
• Ελλειπτική συνάρτηση
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Λέοπολντ Κρόνεκερ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητός αριθμός
• Σώμα (άλγεβρα)

• Holzapfel, Rolf-Peter (6 Δεκεμβρίου 2012). The Ball and Some Hilbert Problems. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9051-9. 
• Arnolʹd, Vladimir Igorevich (2000). Mathematics: Frontiers and Perspectives: Frontiers and Perspectives. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2697-3. 
• Hida, Haruzo (15 Ιουνίου 2006). Hilbert Modular Forms and Iwasawa Theory. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-151387-9. 
• Lario, Joan-Carles· Murty, V. Kumar (29 Ιανουαρίου 2018). Number Theory Related to Modular Curves. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1991-2. 
• Cohn, Harvey (1 Ιανουαρίου 1994). Introduction to the Construction of Class Fields. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-68346-1. 
• Childress, Nancy (28 Οκτωβρίου 2008). Class Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72490-4. 
• Bratteli, Ola· Neshveyev, Sergey (19 Ιανουαρίου 2007). Operator Algebras: The Abel Symposium 2004. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-34197-0. 
• Consani, Caterina· Connes, Alain (2011). Noncommutative Geometry, Arithmetic, and Related Topics: Proceedings of the Twenty-First Meeting of the Japan-U.S. Mathematics Institute. JHU Press. ISBN 978-1-4214-0352-6. 

• Langlands, R. P. (1976). «Some contemporary problems with origins in the Jugendtraum». Στο: Browder, Felix E. Mathematical developments arising from Hilbert problems (PDF). Proc. Sympos. Pure Math. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0345.14006. 
• Schappacher, Norbert (1998). «On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors». Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX^e siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. 3. Paris: Société Mathématique de France. σελίδες 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530. 
• Vlǎduţ, S. G. (1991). Kronecker's Jugendtraum and modular functions. Studies in the Development of Modern Mathematics. 2. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7. Zbl 0731.11001. 

• «Recent Progress on Hilbert's 12th Problem». ICMS - International Centre for Mathematical Sciences (στα Αγγλικά). 24 Οκτωβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 8 Δεκεμβρίου 2024. 
• On the History of Hilbert's Twelfth Problem A Comedy of Errors. «On the History of Hilbert's Twelfth Problem A Comedy of Errors». 
• «Hilbert's twelfth problem and deformations of modular forms | Mathematics». mathematics.stanford.edu (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Δεκεμβρίου 2024.