Πεδιακή θεωρία

Στα μαθηματικά, η πεδιακή θεωρία είναι ένας σημαντικός κλάδος της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ο οποίος έχει ως στόχο να ταξινομήσει τις αβελιανές επεκτάσεις, δηλαδή τις γαλαζιακές επεκτάσεις και τις αντιμεταθετικές ομάδες Γκαλουά, ενός συγκεκριμένου αντιμεταθετικού πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, ο στόχος είναι να περιγραφούν και να κατασκευαστούν αυτές οι επεκτάσεις με βάση τις αριθμητικές ιδιότητες του ίδιου του βασικού πεδίου^[1].

Τα περισσότερα από τα κύρια αποτελέσματα αποδείχθηκαν κατά την περίοδο μεταξύ 1900 και 1950. Η θεωρία πήρε το όνομά της από πρώιμες ιδέες, εικασίες και αποτελέσματα, όπως το πεδίο κλάσης Χίλμπερτ, και οργανώθηκε γύρω στο 1930.

Σήμερα, ο όρος χρησιμοποιείται γενικά ως συνώνυμο για τη μελέτη όλων των αβελιανών επεκτάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων (και γενικότερα στο σύνολο των πεδίων), αλλά και των p-adic^[2] αριθμητικών πεδίων (και γενικότερα των τοπικών πεδίων).^[3]

Μια άλλη σημαντική γραμμή είναι η αναζήτηση ρητών γεννητριών για πεδία κλάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων, δηλαδή γεννητριών που δίνονται από τις τιμές των υπερβατικών συναρτήσεων. Αυτό είναι το Κρόνεκερ Jugendtraum^[4] (το όνειρο της νεότητας του Κρόνεκερ). Έχει επιτευχθεί μόνο σε λίγες σπάνιες περιπτώσεις, κυρίως στο πεδίο των λογικών (θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, όπου οι γεννήτριες είναι ρίζες της μονάδας, δηλαδή τιμές της εκθετικής συνάρτησης), και σε φανταστικά τετραγωνικά πεδία (η περίπτωση των πεδίων με μιγαδικό πολλαπλασιασμό, όπου οι γεννήτριες είναι τιμές ελλειπτικών συναρτήσεων).

Έστω Κ ένα σταθερό αντιμεταθετικό πεδίο. Στη σύγχρονη γλώσσα, υπάρχει μια "μέγιστη" αβελιανή επέκταση A του K, η οποία θα είναι άπειρου βαθμού στο K- και συνδεδεμένη με την A, μια ομάδα Γαλουά G η οποία θα είναι μια προφινιτική ομάδα, άρα μια συμπαγής τοπολογική ομάδα, και επίσης αβελιανή. Μας ενδιαφέρει να περιγράψουμε την G ως προς την K.

Το θεμελιώδες αποτέλεσμα της θεωρίας των πεδίων κλάσεων δηλώνει ότι η ομάδα G είναι φυσικά ισόμορφη με την προφινιτική ολοκλήρωση της ομάδας των κλάσεων idel (in) του K. Για παράδειγμα, όταν το K είναι το πεδίο των λογικών αριθμών, η ομάδα Γαλουά G είναι (φυσικά ισόμορφη με) ένα άπειρο γινόμενο της ομάδας των μονάδων των p-adic^[2] ακεραίων αριθμών που λαμβάνονται πάνω σε όλους τους πρώτους p, και η αντίστοιχη μέγιστη αβελιανή επέκταση των λογικών αριθμών είναι το πεδίο που παράγεται από όλες τις ρίζες της μονάδας. Αυτό ήταν γνωστό ως θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, το οποίο διατυπώθηκε αρχικά από τον Κρόνεκερ.

Για μια περιγραφή της γενικής περίπτωσης, ανατρέξτε στο αναλυτικό άρθρο: Σχηματισμός τάξης.

Στην πράξη, το πρόγραμμα παίρνει την ακόλουθη μορφή. Δεδομένου ενός πεδίου K και ενός σταθερού διαχωρίσιμου κλεισίματος K^sep του K, επιδιώκουμε να συσχετίσουμε με κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση L του K που περιλαμβάνεται στο K^sep μια τοπολογική ομάδα 'C(L) και έναν συνεχή ομομορφισμό των ομάδων NL/K του C(L) στο C(K) έτσι ώστε :

• Η εφαρμογή που συνδέει το N_L/K(C(L)) με το L είναι μια διχοτόμηση μεταξύ πεπερασμένων αβελιανών επεκτάσεων του K που περιλαμβάνονται στο K^sep και ανοικτών υποομάδων πεπερασμένου δείκτη του C(K).
• Για κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση L/K που περιλαμβάνεται στην K^sep, υπάρχει ένας ισομορφισμός των ομάδων r_L/K της Gal(L/K) στην C(K)/N_L/K(C(L)), που ονομάζεται εφαρμογή αμοιβαιότητας.

Η θεωρία πεδίων κλάσεων έχει περιγραφεί για ένα ευρύ φάσμα πεδίων, συμπεριλαμβανομένων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων και των p-αδικών αριθμητικών πεδίων.

Το απλούστερο παράδειγμα είναι αυτό των πεπερασμένων πεδίων. Αν το K είναι ένα πεπερασμένο πεδίο με καρδινάλιο q, C(L) = ℤ και N_L/K ισούται με τον πολλαπλασιασμό με τον βαθμό [L/K] τουL/K, για κάθε πεπερασμένη επέκταση L του K που περιλαμβάνεται στο K^sep. Έχουμε έναν εγχυτικό και πυκνό σε εικόνες μορφισμό των ομάδων του ℤ στο Gal(K^sep/K), ο οποίος στέλνει το 1 στον Frobenius^[5] του K, δηλαδή στον αυτομορφισμό φ_K : x ↦ x^q. Αν το σ είναι στοιχείο του Gal(L/K), υπάρχει ένα μοναδικό n στο ℤ/[L:K]ℤ τέτοιο ώστε το φ_Kⁿ να επεκτείνει το σ. Η εφαρμογή της αμοιβαιότητας ορίζεται από το σ ↦ n.

Πρόκειται για το μέρος της θεωρίας που ασχολείται με τα τοπικά πεδία. Σε ό,τι ακολουθεί, περιοριζόμαστε σε τοπικά πεδία των οποίων το υπόλοιπο πεδίο είναι πεπερασμένο.^[6][7]

Αν το K είναι ένα τοπικό πεδίο με πεπερασμένο υπόλοιπο πεδίο, υπάρχει ένας εγχυτικός και πυκνός ομομορφισμός εικόνας των τοπολογικών ομάδων της πολλαπλασιαστικής ομάδας του K πάνω στην ομάδα Γαλουά της μέγιστης αβελιανής επέκτασης του K . Αυτός ο ομομορφισμός, που ονομάζεται σύμβολο Αρτίν, ορίζεται ως εξής: κάθε πρώτο στοιχείο του K σχετίζεται με έναν αυτομορφισμό που, περιορισμένος σε οποιαδήποτε μη διακλαδισμένη αβελιανή υποεπέκταση, είναι ο αυτομορφισμός Frobenius αυτής της επέκτασης, και το σύμβολο Αρτίν παραγοντοποιεί μέσω των ομάδων νόρμας που σχετίζονται με τις πεπερασμένες υποεπεκτάσεις. Υπάρχει τότε μια αντιστοιχία Γαλουά των υπο-επεκτάσεων της μέγιστης αβελιανής επέκτασης του K με τις υποομάδες (κλειστές για την τοπολογία Krull) της ομάδας Γαλουά αυτής της επέκτασης, και επομένως, μέσω του συμβόλου Αρτίν, με τις υποομάδες της πολλαπλασιαστικής ομάδας του K .^[8]

Η πιο εντυπωσιακή ειδική περίπτωση είναι αυτή της μοναδιαίας ομάδας: σχετίζεται με τη μέγιστη μη διακλαδισμένη επέκταση της K .

Για K ένα αριθμητικό πεδίο, η αντιστοιχία του πεδίου τάξεων μπορεί να δηλωθεί ως η συλλογή των τοπικών αντιστοιχιών σε όλους τους μη-αρχιμήδειους τόπους του K , χρησιμοποιώντας τα idels^[9] .

Η γενίκευση πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο ενός μακροχρόνιου ιστορικού έργου που περιλάμβανε τετραγωνικές μορφές, νόμους αμοιβαιότητας, το έργο των Κόμερ και Κρόνεκερ/Χένσελ για τα ιδεώδη και τις συμπληρώσεις τους, τη θεωρία της κυκλοτομίας, τις επεκτάσεις του Κόμερ, τις εικασίες του Χίλμπερτ και τις αποδείξεις πολλών μαθηματικών (Τέιτζι Τακάγκι, Χέλμουτ Χάσε, Εμίλ Άρτιν, Φίλιπ Φουρτβένγκλερ και άλλοι). Το κρίσιμο θεώρημα ύπαρξης του Τακαγκί ήταν γνωστό το 1920 και όλα τα άλλα βασικά αποτελέσματα γύρω στο 1930. Η ιδιότητα του πρωτεύοντος ήταν μία από τις τελευταίες κλασικές εικασίες που αποδείχθηκαν.

Στη δεκαετία του 1930 και αργότερα, η χρήση των άπειρων επεκτάσεων και η θεωρία του Κρουλl για τις ομάδες Γκαλουά τους θεωρήθηκε όλο και πιο χρήσιμη. Συνδυάζεται με τη δυαδικότητα Pontryagin για να δώσει μια σαφέστερη αλλά πιο αφηρημένη διατύπωση του κεντρικού αποτελέσματος, του νόμου της αμοιβαιότητας του Άρτιν. Βασίζεται επίσης στη θεωρία του Ιβασάβα.

Μετά την αναδιατύπωση των αποτελεσμάτων με όρους της συνομολογίας Γκαλουά , με την έννοια του σχηματισμού τάξης, ο τομέας αυτός υπέστη σχετική στασιμότητα. Το πρόγραμμα Λάνγκλαντς του έδωσε μια νέα ώθηση, με τη μορφή μιας "μη-αβελιανής θεωρίας των πεδίων κλάσεων ", αν και αυτή η περιγραφή μπορεί πλέον να θεωρηθεί περιοριστική, αν περιοριστεί στο ερώτημα πώς τα πρώτα ιδεώδη αποσυντίθενται σε γενικές επεκτάσεις Γκαλουά.

• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι., επιμ.. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5 
• Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74 (3rd revised έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6 
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7