Πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι το πέμπτο μαθηματικό πρόβλημα από τον κατάλογο προβλημάτων που δημοσιοποιήθηκε το 1900 από τον μαθηματικό Ντέιβιντ Χίλμπερτ και αφορά τον χαρακτηρισμό των ομάδων Λι.

Η θεωρία των ομάδων Λι περιγράφει τη συνεχή συμμετρία στα μαθηματικά- η σημασία της εκεί και στη θεωρητική φυσική ( παραδείγματος χάριν στη θεωρία των κουάρκ) αυξήθηκε σταθερά τον εικοστό αιώνα. Σε αδρές γραμμές, η θεωρία των ομάδων Λι είναι ο κοινός τόπος της θεωρίας ομάδων και της θεωρίας της τοπολογικής πολλαπλότητας. Το ερώτημα που έθεσε ο Χίλμπερτ ήταν ένα οξύ ερώτημα ακρίβειας: μήπως υπάρχει κάποια διαφορά αν επιβάλλουμε έναν περιορισμό στις λείες ποικιλίες;

Η αναμενόμενη απάντηση ήταν αρνητική (οι κλασικές ομάδες, τα πιο κεντρικά παραδείγματα στη θεωρία ομάδων Λι, είναι λείες πολλαπλότητες). Αυτό τελικά επιβεβαιώθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1950. Δεδομένου ότι η ακριβής έννοια της «πολλαπλότητας» δεν ήταν διαθέσιμη στον Χίλμπερτ, υπάρχει περιθώριο για κάποια συζήτηση σχετικά με τη διατύπωση του προβλήματος στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα.

Μια σύγχρονη διατύπωση του προβλήματος (στην απλούστερη ερμηνεία του) έχει ως εξής:^[1]

Έστω G μια τοπολογική ομάδα που είναι επίσης μια τοπολογική πολλαπλότητα (δηλαδή τοπικά ομοιομορφική με έναν ευκλείδειο χώρο). Μήπως αυτό σημαίνει ότι η G πρέπει να είναι ισομορφική (ως τοπολογική ομάδα) με μια ομάδα Λι;

Μια ισοδύναμη διατύπωση αυτού του προβλήματος πιο κοντά σε αυτή του Χίλμπερτ, σε όρους νόμων σύνθεσης, έχει ως εξής:^[2]

Έστω V ⊆ U ανοικτά υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου, έτσι ώστε να υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : V × V → U που ικανοποιεί το αξίωμα της προσεταιριστικής ιδιότητας των ομάδων. Μήπως προκύπτει ότι η f πρέπει να είναι ομαλή συνάρτηση (μέχρι τη συνεχή αναπαραμετροποίηση);

Υπό αυτήν τη μορφή το πρόβλημα λύθηκε από τους Μοντγκόμερι-Ζίπιν και Γκλίσον.

Μια ισχυρότερη ερμηνεία (θεωρώντας την G ως ομάδα μετασχηματισμού και όχι ως αφηρημένη ομάδα) οδηγεί στην εικασία Χίλμπερτ - Σμιθ για τις δράσεις ομάδων σε πολλαπλές, η οποία σε πλήρη γενικότητα είναι ακόμη ανοικτή. Είναι γνωστή κλασικά για δράσεις σε δισδιάστατες πολλαπλότητες και πρόσφατα λύθηκε για τρεις διαστάσεις από τον Τζον Πάρντον.

Το πρώτο σημαντικό αποτέλεσμα ήταν αυτό του Τζον φον Νόιμαν το 1933^[3], που έδωσε μια καταφατική απάντηση για συμπαγείς ομάδες. Η περίπτωση της τοπικά συμπαγούς αβελιανής ομάδας λύθηκε το 1934 από τον Λεβ Ποντριάγκιν. Η οριστική επίλυση, τουλάχιστον με την ερμηνεία του τι εννοούσε ο Χίλμπερτ που δόθηκε παραπάνω, ήρθε με το έργο των Άντριου Γκλίσον, Ντιν Μοντγκόμερι και Λίο Ζίπιν τη δεκαετία του 1950.

Το 1953, ο Χιντεχίκο Γιαμάμπε πέτυχε περαιτέρω αποτελέσματα για τοπολογικές ομάδες που μπορεί να μην είναι πολλαπλότητες:^[4]

Κάθε τοπικά συμπαγής συνεκτική ομάδα είναι το προβολικό όριο μιας ακολουθίας ομάδων Λι. Επιπλέον, είναι ομάδα Λι αν δεν έχει μικρές υποομάδες.

Από το θεώρημα του φαν Ντάντσιγκ προκύπτει ότι κάθε τοπικά συμπαγής ομάδα περιέχει μια ανοικτή υποομάδα που είναι προβολικό όριο των ομάδων Λι, (αυτή η τελευταία δήλωση ονομάζεται Θεώρημα Γκλίσον-Γιαμάμπε από τον Τάο (2014, Θεώρημα 1.1.17^[5]).

Μια σημαντική προϋπόθεση στη θεωρία είναι να μην υπάρχουν μικρές υποομάδες. Μια τοπολογική ομάδα G, ή ένα μερικό κομμάτι μιας ομάδας όπως η F παραπάνω, λέγεται ότι δεν έχει μικρές υποομάδες αν υπάρχει μια γειτονιά N της e που δεν περιέχει καμία υποομάδα μεγαλύτερη από την {e}. Παραδείγματος χάριν, η ομάδα των κύκλων ικανοποιεί τη συνθήκη, ενώ η ομάδα των p-adic ακεραίων Z_p ως αβελιανή ομάδα όχι, διότι η N θα περιέχει τις υποομάδες: p^k Z_p, για όλους τους μεγάλους ακέραιους k. Αυτό δίνει μια ιδέα για το πώς είναι η δυσκολία του προβλήματος. Στην περίπτωση της εικασίας Χίλμπερτ - Σμιθ πρόκειται για μια γνωστή αναγωγή στο κατά πόσο η Z_p c μπορεί να δράσει πιστά σε μια κλειστή πολλαπλότητα. Οι Γκλίασον, Μοντγκόμερι και Ζίπιν χαρακτήρισαν τις ομάδες Λι μεταξύ των τοπικά συμπαγών ομάδων, ως εκείνες που δεν έχουν μικρές υποομάδες.

Οι ερευνητές εξέτασαν επίσης το πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ χωρίς να υποθέσουν πεπερασμένες διαστάσεις. Αυτό ήταν το αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής του Περ Ένφλο- η εργασία του παρουσιάζεται στο βιβλίο Μπενιαμίνι & Λίντενστραους (Benyamini & Lindenstrauss (2000, Chapter 17)).

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

• Τέρενς Τάο
• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Ντιν Μοντγκόμερι
• Επιστήμη υπολογιστών
• Τζον φον Νόιμαν
• Τοπολογική πολλαπλότητα
• Αβελιανή ομάδα
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία ομάδων
• Ομοιομορφισμός

• Tao, Terence (18 Ιουλίου 2014). Hilbert's Fifth Problem and Related Topics. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1564-8. 
• James, I. M. (24 Αυγούστου 1999). History of Topology. Elsevier. ISBN 978-0-08-053407-7. 
• Ceccherini-Silberstein, Tullio· D'Adderio, Michele (1 Ιανουαρίου 2022). Topics in Groups and Geometry: Growth, Amenability, and Random Walks. Springer Nature. ISBN 978-3-030-88109-2. 
• Kawakubo, Katsuo (14 Νοεμβρίου 2006). Transformation Groups: Proceedings of a Conference, held in Osaka, Japan, Dec. 16-21, 1987. Springer. ISBN 978-3-540-46178-4. 
• Borel, Armand (1983). Collected Papers. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67640-9. 
• Aspray, William· Kitcher, Philip (1988). History and Philosophy of Modern Mathematics. U of Minnesota Press. ISBN 978-0-8166-1567-4. 
• ODougherty, Dr Patrick (5 Μαρτίου 2018). Personalism and Mathematics as Women's Personifestoes. Lulu.com. ISBN 978-1-387-64179-6. 

• Morikuni, Goto (1961). «Hidehiko Yamabe (1923–1960)». Osaka Mathematical Journal 13 (1): i–ii.
  MR 0126362
  .
  Zbl 0095.00505
  . http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1200690171. 
• Rosinger, Elemér E. (1998). Parametric Lie Group Actions on Global Generalised Solutions of Nonliear PDE. Including a solution to Hilbert's Fifth Problem. Mathematics and Its Applications. 452. Doerdrecht–Boston–London: Kluwer Academic Publishers. σελίδες xvii+234. ISBN 0-7923-5232-7. MR 1658516. Zbl 0934.35003. 
• Tao, Terence (2014). Hilbert’s fifth problem and related topics. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. σελίδες xiii+338. ISBN 978-1-4704-1564-8. Zbl 1298.22001. 
• Montgomery, Deane· Zippin, Leo (1955). Topological Transformation Groups. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Interscience Publishers. σελ. 281. 
• Yamabe, Hidehiko, On an arcwise connected subgroup of a Lie group, Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 Mar. (1950),  13–14.
• Irving Kaplansky, Lie Algebras and Locally Compact Groups, Chicago Lectures in Mathematics, 1971.
• Benyamini, Yoav· Lindenstrauss, Joram (2000). Geometric nonlinear functional analysis. Colloquium publications. American Mathematical Society. 
• Enflo, Per. (1970) Investigations on Hilbert’s fifth problem for non locally compact groups. (Ph.D. thesis of five articles of Enflo from 1969 to 1970)
  • Enflo, Per; 1969a: Topological groups in which multiplication on one side is differentiable or linear. Math. Scand., 24,  195–197.
  • Per Enflo (1969). «On the nonexistence of uniform homeomorphisms between L_p spaces». Ark. Mat. 8 (2): 103–105. doi:10.1007/BF02589549. 
  • Enflo, Per; 1969b: On a problem of Smirnov. Ark. Mat. 8,  107–109.
  • Enflo, P. (1970). «Uniform structures and square roots in topological groups». Israel Journal of Mathematics 8 (3): 230–252. doi:10.1007/BF02771560. 
  • Enflo, P. (1970). «Uniform structures and square roots in topological groups». Israel Journal of Mathematics 8 (3): 253–272. doi:10.1007/BF02771561. 

• (στα αγγλικά) Hilbert’s fifth problem for local groups | Annals of Mathematics. https://annals.math.princeton.edu/2010/172-2/p10. 
• «Hilbert's Fifth Problem | Mathematical Institute». www.maths.ox.ac.uk. Ανακτήθηκε στις 2 Δεκεμβρίου 2024. 
• Goldbring, Isaac (2010). «Hilbert's fifth problem for local groups». Annals of Mathematics 172 (2): 1269–1314. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/29764638.