Karrez

Karrez
Ur c'harrez
Ar c'harrez zo ur skouer dibar eus :
pevarc'hostezeg pevarc'hostezeg konveksel sarpant-nij trapez parallelogram skouergorneg lankell

Ar c'harrezioù a zo anezho poligonoù reoliek dezho pevar c'hostez. Talvezout a ra ez eo keit o fevar c'hostez, hag ar memes muzul a zo d'o fevar c'horn. Ar c'harrezioù a zo anezho skouergornegoù ha romboù war un dro.

Ur toullad mat a berzhioù a simetriezh hag a reoliegezh en deus ar c'harrez. An holl garrezioù o deus pevar ahel simetriezh hag anvariant e vezont dre an troiadurioù gant ur c'horn skouer. Kenskouer eo ar c'hostezioù kenheuliek er c'harrezioù, hag an diagonalennoù ivez. Anavezet eo ar perzhioù-se abaoe an Henamzer goshañ. Taolennadurioù kentañ ar c'harrez a gaver ken abred hag ar ragistor. Ar c'helc'h hag ar c'harrez eo ar figurennoù geometrek heverk a zo bet studiet ar muiañ abaoe an Henamzer, ha kudenn karrezadur ar c'helc'h a zo bet prederiet gant meur a vatematikour e-pad daou vilved.

« Karrez un niver » a reer ivez eus liesad an niver-se drezañ e-unan. Notet e vez a × a = a² ha lennet « a karrez ». Deuet eo an droienn-se da vezañ trec'h e-pad ar mare ma veze an aljebr geometrek e pep lec'h, ha ma veze gwelet karrez un niver bennak evel gorread ur c'harrez an niver kentañ-se e gostez.

Ar c'harrez a zo anezhañ ur romb hag ur skouergorneg war un dro, dre se e tegemer holl berzhioù an daou bevarc'hostezeg-se. Gallout a reer gwelet anezhañ evel ur poligon reoliek, ha gant se e c'heller prouiñ e berzhioù dre o deduiñ eus re ar poligonoù-se.

Ar c'harrezioù o deus pevar c'horn skouer (evel ar skouergornegoù) ha keit eo o fevar c'hostez (romboù int). Parallelek daou-ha-daou eo kostezioù enep ar c'harrezioù, ha gant se ez int skouerioù dibar eus parallelogramoù.

En em droc'hañ a ra diagonalennoù ar c'harrezioù en o c'hreiz peogwir ez euz ur parallelogram dibar eus pep karrez. Graet e vez kreizenn ar c'harrez eus ar poent skej-se. Notomp-eñ O.

Keit eo diagonalennoù ar skouergornegoù setu eo keit ivez diagonalennoù ar c'harrezioù. Dre se ez eus ur c'helc'h, O e greizenn, hag a dremen dre bevar beg ar c'harrez. Kevatal eo skin ar c'helc'h-se gant hirder un hanter-ziagonalenn.

Kenskouer eo diagonalennoù ar romboù setu ez eo kenskouer diagonalennoù ar c'harrezioù.

Pep diagonalenn a rann ar c'harrez e daou dric'horn skouer hag izoskelel war un dro. Hag gant an div ziagonalenn asambles e vez termenet pevar zric'horn skouer ha izoskelel er c'harrez.

Heñvel eo an holl garrezioù. Talvezout a ra pa pleder gant daou garrez bennak e vez atav ur brasadur (pe ur bihanadur) a ro tro da treuzfurmiñ an eil karrez en egile en ur virout ar c'hornioù geometrek hag ar c'henfeurioù. Gallout a reer termenañ penn-da-benn ar c'harrezioù gant c, hirder o c'hostezioù.

Gorread ar c'harrez zo c×c = c². E drohed a vuzuilh 4c ha pep diagonalenn a vuzuilh c√2.

E-touez ar pevarc'hostezegoù dezho ar memes trohed ez eo ar c'harrez a zo dezhañ ar gorread brasañ.

Mentoù ur c'harrez, a e gostez ha d e ziagonalenn
Gorread	${\displaystyle G\,=\,a^{2}=a\times a}$ ${\displaystyle G\,=\,{\frac {d^{2}}{2}}}$
Trohed	${\displaystyle T\,=\,4a}$ ${\displaystyle T\,=\,2{\sqrt {2}}d}$
Diagonalenn	${\displaystyle d\,=\,a{\sqrt {2}}}$
Skin ar c'helc'h troskrivet	${\displaystyle r_{t}\,=\,{\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
Skin ar c'helc'h enskrivet	${\displaystyle r_{e}\,=\,{\frac {1}{2}}a\,=\,{\frac {a}{2}}}$
Kostez	${\displaystyle a\,={\dfrac {d{\sqrt {2}}}{2}}}$

Bez' ez eus daou seurt treuzfurmadurioù a lez ar c'harrezioù anvariant :

• ar simetriezhioù-ahel a zo o ahel pe diagonalenn ar c'harrez, pe kreizskouerenn ur c'hostez ;
• an troiadurioù a zo o c'hreizenn kreizenn ar c'harrez, hag o c'horn ul lieskement eus ar c'horn skouer.

Setu amañ ar roll anezho, eizh a zo en holl ha mont a reont d'ober ur stroll :

id (identegezh : pep poent a vez peurviret)	r1 (troiadur a 90° war an tu dehou)	r2 (troiadur a 180°)	r3 (troiadur a 270° war an tu dehou)
fv (eilpennadur vertikalek)	fh (eilpennadur horizontalek)	fd (eilpennadur e-keñver an diagonalenn gentañ)	fc (eilpennadur e-keñver an eil diagonalenn)
Elfennoù ar stroll simetriezh (D4). Livet ha niverennet eo ar begoù evit diskwel an treuzfurmadurioù hepken.

Kement eeunenn a dremen dre O a rann ar c'harrez e div lodenn arlakadus.

Fellout a ra dimp sevel ar c'harrez ${\displaystyle ABCD}$ e vegoù pa anavezer ar poentoù ${\displaystyle A}$ ha ${\displaystyle B}$ hepken. Lakaomp ${\displaystyle R}$ an hed etre ${\displaystyle A}$ ha ${\displaystyle B}$ ; neuze e reer evel amañ da-heul :

• Tresañ a reer ${\displaystyle C_{1}}$, ar c'helc'h ${\displaystyle A}$ e greizenn hag ${\displaystyle R}$ e skin (hag a endalc'h ar poent ${\displaystyle B}$ neuze).

${\displaystyle \Rightarrow }$ bez' ez eus un trede beg eus ar c'harrez war ar grommenn-se.

• Tresañ a reer ${\displaystyle C_{2}}$, ar c'helc'h ${\displaystyle B}$ e greizenn hag ${\displaystyle R}$ e skin (hag a endalc'h ${\displaystyle A}$ neuze)

${\displaystyle \Rightarrow }$ emañ pevare beg ar c'harrez war ar grommenn-se.

• Lakaomp ${\displaystyle G}$, unan eus daou boent skej ${\displaystyle C_{1}}$ ha ${\displaystyle C_{2}}$ ; sevel a reer neuze ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle G}$ e greizenn hag ${\displaystyle R}$ e skin. Skejet eo ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle B}$ hag en ur poent all ${\displaystyle H}$ gant ar c'helc'h-se.
• ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle H}$ e greizenn hag ${\displaystyle R}$ e skin, a skej ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle G}$ hag en ur poent all ${\displaystyle I}$.
• Lakaomp ${\displaystyle S}$ an hed etre ${\displaystyle G}$ hag ${\displaystyle I}$ ; sevel a reer neuze ${\displaystyle C_{5}}$, ${\displaystyle I}$ e greizenn hag ${\displaystyle S}$ e skin (dre ret ec'h endalc'h ${\displaystyle G}$).
• ${\displaystyle C_{6}}$ a saver gant ar greizenn ${\displaystyle B}$ hag ar skin ${\displaystyle S}$ (dre ret ec'h endalc'h ${\displaystyle H}$). Notañ a reer ${\displaystyle J}$ poent skej ${\displaystyle C_{6}}$ ha ${\displaystyle C_{5}}$ hag a zo er memes tu ha ${\displaystyle G}$ e-keñver an eeunenn ${\displaystyle (AB)}$.
• Bezet ${\displaystyle T}$ an hed etre ${\displaystyle A}$ ha ${\displaystyle J}$, sevel a reer ${\displaystyle C_{7}}$, ar c'helc'h ${\displaystyle A}$ e greizenn ha ${\displaystyle T}$ e skin (dre ret ec'h endalc'h ${\displaystyle J}$).

${\displaystyle \Rightarrow }$ Ar poent ${\displaystyle C}$ eo poent skej ${\displaystyle C_{7}}$ ha ${\displaystyle C_{2}}$.

• Sevel a reer neuze ${\displaystyle C_{8}}$, ${\displaystyle C}$ e greizenn hag ${\displaystyle R}$ e skin.

${\displaystyle \Rightarrow }$ Poent skej ${\displaystyle C_{8}}$ ha ${\displaystyle C_{1}}$ eo ar poent ${\displaystyle D}$.

Setu amañ un doare all da sevel ur c'harrez, gant ar c'helc'hier hag ar reolenn ar wezh-mañ, pa anavezer hirder an hanter-ziagonalenn.

Ken abred hag er VI^vet milved kt JK e oa podoù kinklet gant karrezioù e Mezopotamia^[1].

Tablezennoù 'zo a ziskouez e anavezed simetriezhioù ha troiadurioù eus ar c'harrez war-dro ar XVIII^vet kantved kt JK. An dablezenn BM 15285 ez eus enni un daou-ugent bennak a gudennoù matematikel diwar-benn gorreadoù figurennoù stag ouzh karrezioù^[1].

Erbediñ a ra an Talmud sevel kêrioù e stumm karrezioù, petra bennak a vefe stumm o moger-dro^[2].

(en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: a Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. _{(ISBN 978-0-691-09182-2)}