Участник:CLepip/Автоморфизм

В контексте абстрактной алгебры математический объект — это алгебраическая структура, такая как группа, кольцо или векторное пространство. Автоморфизм — это просто биективный гомоморфизм этого объекта с самим собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., например, гомоморфизм групп, гомоморфизм колец и линейный оператор.)

Тождественное отображение иногда называется тривиальным автоморфизмом. Соответственно, другие (нетождественные) автоморфизмы называются нетривиальными автоморфизмами.

Точное определение автоморфизма зависит от типа рассматриваемых математических объектов и от того, что именно представляет собой изоморфизм между такими объектами. Наиболее абстрактно понятие автоморфизма рассматривается в теории категорий, которая изучает абстрактные объекты и морфизмы между этими объектами. В теории категорий автоморфизм — это эндоморфизм (то есть морфизм объекта на себя), который также является изоморфизмом (то есть обратимый эндоморфизм). Это одно из наиобщих определений, поскольку в теории категорий морфизмы не обязательно являются функциями, а объекты не обязательно являются множествами. Однако, в большинстве конкретных случаев объекты будут множествами с некоторой дополнительной структурой, а морфизмы будут функциями, сохраняющими эту структуру.

Если автоморфизмы объекта ${\displaystyle X}$  образуют множество (вместо соответствующего класса), то они образуют группу относительно операции композиции морфизмов. Эта группа называется группой автоморфизмов объекта ${\displaystyle X}$ .

Замкнутость

Композиция двух автоморфизмов — автоморфизм.

Ассоциативность

В контексте теории категорий следует из того, что композиция морфизмов ассоциативна.

Существование нейтрального элемента

Нейтральный элемент — это тождественный морфизм объекта на себя (${\displaystyle \hom(A,A)}$ ), который является автоморфизмом.

Существование обратного элемента

По определению у каждого изоморфизма есть обратный, который также является изоморфизмом, а поскольку обратный также является эндоморфизмом того же объекта, он является автоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта ${\displaystyle X}$  в категории ${\displaystyle C}$  обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{C}(X)}$  или просто ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ , если категория ясна из контекста.

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества ${\displaystyle X}$  является автоморфизмом. Группа автоморфизмов ${\displaystyle X}$  также называется симметрической группой на ${\displaystyle X}$ .
• В элементарной арифметике множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: взятие противоположного по знаку. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, взятие противоположного является автоморфизмом для любой абелевой группы, но не для кольца или поля.
• Автоморфизм групп — это групповой изоморфизм группы на себя. Неформально это перестановка элементов группы, при которой структура остаётся неизменной. Для каждой группы ${\displaystyle G}$  существует естественный гомоморфизм групп ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$ , образ которого есть группа внутренних автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$  и ядро которого является центром группы ${\displaystyle G}$ . Таким образом, если группа а${\displaystyle G}$  имеет тривиальный центр, её можно вложить в собственную группу автоморфизмов^[2].
• В линейной алгебре эндоморфизмом векторного пространства ${\displaystyle V}$  является линейный оператор ${\displaystyle V\to V}$ . В этом контексте автоморфизм — это обратимый линейный оператор на ${\displaystyle V}$ . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов ${\displaystyle V}$  совпадает с общей линейной группой ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ . (Алгебраическая структура, состоящая из всех эндоморфизмов ${\displaystyle V}$ , сама по себе является алгеброй над тем же полем, что и ${\displaystyle V}$ , чьи обратимые элементы в точности состоят из ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ .)
• Автоморфизм полей — это биективный кольцевой гомоморфизм поля в себя. В случае рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  и действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$  не существует нетривиальных автоморфизмов этих полей. Некоторые подполя ${\displaystyle \mathbb {R} }$  имеют нетривиальные автоморфизмы, которые, однако, не продолжаются на всё ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (например, потому что эти автоморфизмы не сохраняют свойство числа иметь квадратный корень в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ). В случае комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$  существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий ${\displaystyle \mathbb {R} }$  в ${\displaystyle \mathbb {R} }$  : комплексное сопряжение, но существует бесконечное (несчётное) множество «диких» автоморфизмов (в предположении аксиомы выбора)^[3][4]. Автоморфизмы полей важны для теории расширений полей, в частности, расширений Галуа. В случае расширения Галуа ${\displaystyle L/K}$  подгруппа всех автоморфизмов ${\displaystyle L}$ , фиксирующих ${\displaystyle K}$  поточечно, называется группой Галуа расширения.
• Группа автоморфизмов кватернионов (${\displaystyle H}$ ) как кольца — это внутренние автоморфизмы по теореме Сколема–Нётер: отображения вида ${\displaystyle a\to bab^{-1}}$ ^[5]. Эта группа изоморфна ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ , группе вращений в трёхмерном пространстве.
• Группа автоморфизмов октонионов (${\displaystyle O}$ ) является исключительной группой Ли G2.
• В теории графов автоморфизм графа — это перестановка узлов, сохраняющая рёбра и нерёбра. В частности если два узла соединены ребром, то и их отображения после применения автоморфизма также соединены ребром. В этом случае автоморфизм работает как перенумерация или перестановка вершин графа.
• В геометрии автоморфизм называют движением пространства. Также используется специализированная терминология:
  • В категории римановых поверхностей автоморфизм — это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением) с поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана — это преобразования Мёбиуса.
  • Автоморфизм дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$  есть диффеоморфизм из ${\displaystyle M}$  в себя. Группа автоморфизмов иногда обозначается ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ .
  • В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями, а автоморфизм топологического пространства — это гомеоморфизм пространства в себя. Это пример того, что не всегда достаточно биективности морфизма, чтобы он был изоморфизмом.

Один из самых ранних автоморфизмов групп (а не просто группа автоморфизмов множества точек) был дан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосиане, где он открыл автоморфизм второго порядка^[6], написав:

…so that ${\displaystyle \mu }$  is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root ${\displaystyle \lambda }$  by relations of perfect reciprocity.

В некоторых категориях, самые важные из которых — группы, кольца и алгебры Ли, можно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами.

В случае групп внутренние автоморфизмы — это сопряжения при помощи элементов самой группы. Для каждого элемента ${\displaystyle a}$  группы ${\displaystyle G}$  сопряжение при помощи ${\displaystyle a}$  есть операция ${\displaystyle \phi _{a}:G\to G}$  определяемая как ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1}}$  (или ${\displaystyle a^{-1}ga}$ ; зависит от источника). Легко проверить, что сопряжение при помощи ${\displaystyle a}$  является автоморфизмом групп. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ , обозначаемую через ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ ; это описывается леммой Гурса^[англ.].

Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами. Фактор-группу ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$  обычно обозначают ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$ ; нетривиальные элементы — это смежные классы, содержащие внешние автоморфизмы.

То же самое определение имеет смысл в любом кольце с единицей или в поле, где любой элемент обратим. Для алгебр Ли определение немного отличается.

• Антиавтоморфизм^[англ.]
• Подгруппа характеристик
• Кольцо эндоморфизмов^[англ.]
• Автоморфизм Фробениуса
• Морфизм
• Порядковый автоморфизм^[англ.] (в теории порядка).
• Автоморфизм, сохраняющий отношения
• Дробное преобразование Фурье^[англ.]

• Автоморфизм в математической энциклопедии

[[:Категория:Симметрия]] [[:Категория:Общая алгебра]] [[:Категория:Морфизмы]]