Характеристическая подгруппа

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Связанные определения

Если образ подгруппы при действии любого эндоморфизма лежит внутри подгруппы, то подгруппа называется вполне характеристической. Ясно, что любая вполне характеристическая группа является характеристической.
Любая группа имеет 2 характеристических подгруппы, называемых тривиальными: саму группу и единичную подгруппу. Группа, не имеющая нетривиальных характеристических подгрупп, называется элементарной.

Всякая характеристическая подгруппа является нормальной (так как сопряжение является автоморфизмом), обратное, вообще говоря, неверно. Если группа автоморфизмов группы $\operatorname {Aut} G$ совпадает с группой внутренних автоморфизмов $\operatorname {Int} G,$ то любая нормальная подгруппа группы является характеристической.
Свойство «быть характеристической подгруппой» транзитивно, то есть если A характеристична (вполне характеристична) в B, а B характеристична (вполне характеристична) в C, то A характеристична (вполне характеристична) в C.
Пересечение характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.
Подгруппа, порожденная множеством характеристичных (вполне характеристичных) подгрупп является характеристичной (вполне характеристичной) подгруппой.