Taylorov red

Taylorov razvoj izvor je mnogih razvoja funkcija u redove koji se upotrebljavaju za približni izračun ili za definiciju funkcija. Neki od Taylorovih redova za elementarne funkcije jesu:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ 

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

Za približni izračun koristi se Taylorov polinom:^[1]

${\displaystyle T_{n}(x)=f(c)+{\frac {f'(c)}{1!}}(x-c)+\dots +{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}}$ 

gdje se funkcija

${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}$ 

naziva n-ti ostatak funkcije ${\displaystyle f}$  i može se zapisati u Lagrangeovom integralnom obliku:

${\displaystyle R_{n}(x)=\int _{c}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}dt}$ 

Konvergencija Taylorovog razvoja funkcije ${\displaystyle f}$  zavisi od brzine rasta derivacija ${\displaystyle f^{(n)}}$  u okolini točke ${\displaystyle c}$ . U vezi s tim može se pokazati sljedeći teorem:

Neka je ${\displaystyle f}$  realna funkcija klase ${\displaystyle C^{\infty }}$  definirana na intervalu ${\displaystyle I}$ . Ako postoji prirodan broj ${\displaystyle n_{0}}$  i realni pozitivni brojevi ${\displaystyle \delta ,M,C}$  takvi da je

${\displaystyle |f^{(n)}(x)|\leq C\cdot M^{n}\cdot n!}$ 

za svako ${\displaystyle x}$  iz intervala ${\displaystyle I'=(c-\delta ,c+\delta )\cap I}$  i za svako ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ , tada Taylorov red konvergira k ${\displaystyle f(x)}$  za svako ${\displaystyle x\in I'}$  za koje je

${\displaystyle |x-c|<{\frac {1}{M}}}$ 

U tom slučaju je ${\displaystyle \lim R_{n}(x)=0}$ .

• Kurepa, Svetozar. 1971. Matematička analiza 2, funkcije jedne varijable. Tehnička knjiga, Zagreb. str. 102–104