Сферичні гармоніки

Сферичні гармоніки
Формула	${\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}}}\mathrm {P} _{l}^{|m|}(\cos {\vartheta })e^{\mathrm {i} m\varphi },l,|m|\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}},|m|\leq l}$
Позначення у формулі	${\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\vartheta ,\varphi )}$, ${\displaystyle \mathrm {P} _{n}^{m}(z)}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Сферичні гармоніки у Вікісховищі

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$, які складають повний базис функцій сферичного кута.

Сферичні гармоніки позначаються ${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$, де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

${\textstyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi }}$,

де ${\displaystyle P_{l}^{|m|}(x)}$ - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

${\displaystyle \int Y_{l^{\prime },m^{\prime }}^{*}(\theta ,\varphi )Y_{l,m}(\theta ,\varphi )d\Omega =\delta _{l,l^{\prime }}\delta _{m,m^{\prime }}}$,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а ${\displaystyle \delta _{l,l^{\prime }}}$ - символ Кронекера.

${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}$

${\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }$

${\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}$

${\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}$

• Розрахунок коефіцієнтів сферичної гармоніки з кубічної текстури — Переглянуто: 15 жовтня 2014
• Розрахунок освітлення з допомогою сферичних гармонік в OpenGL — Переглянуто: 15 жовтня 2014

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірно��ті. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (серпень 2018)