Maxwells ligninger

Maxwells ligninger er et system av fire differensialligninger som viser hvordan elektriske og magnetiske felt avhenger av hverandre og av elektrisk ladning og strøm.

Faktaboks

Uttale
mˈækswəls –

Maxwells ligninger kan sees på som elektrodynamikkens grunnlover, som kan brukes til å utlede alle kjente elektriske og magnetiske effekter. Spesielt viser de at et elektrisk felt sprer seg ut fra elektriske ladninger eller oppstår ved forandring av et magnetisk felt, mens et magnetisk felt oppstår på grunn av ladninger i bevegelse eller ved forandring av et elektrisk felt. Et variabelt elektrisk felt kan bare eksistere sammen med et magnetisk felt og omvendt, og variable felter sprer seg med en hastighet som i tomt rom er lik lyshastigheten.

Maxwells ligninger ble formulert av James Clerk Maxwell 1864 i en form som har vist seg å holde både innen relativitetsteorien og i kvanteelektrodynamikk. Undersøkelser av ligningene ledet til antakelsen om at radiobølger burde eksistere – noe Heinrich Hertz (1857–1894) bekreftet med sine berømte eksperimenter.

Selve ligningene og betydningen

  • \( \epsilon_0\nabla\cdot\mathbf E = \rho \), Gauss' lov. Beskriver hvordan det strømmer feltlinjer ut av positive ladninger og inn mot negative.
  • \( \nabla\cdot\mathbf B = 0 \), Gauss' lov for magnetfelt. Det kan ikke strømme magnetfelt ut eller inn av et punkt; magnetiske feltlinjer er lukkede kurver.
  • \( \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\), Faradays lov. Et varierende magnetfelt induserer et sirkulerende elektrisk felt.
  • \( \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J + \epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \), Ampere-Maxwells lov. En strøm og/eller et varierende elektrisk felt induserer et sirkulerende magnetisk felt.

Her er \(\mathbf E\) det elektriske feltet, og \(\mathbf B\) det magnetiske (kalles ofte magnetisk flukstetthet). Videre er \(\rho\) romladningstettheten, \(\mathbf J\) strømtettheten og \(\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\)H/m permeabiliteten i vakuum.

I tillegg til Maxwells ligninger har vi lorentzkraften, som viser hvordan feltene virker på en ladning \(Q\) med hastighet \(\mathbf v\):

\( \mathbf F = Q\mathbf E + Q\mathbf v\times\mathbf B. \)

Maxwells ligninger ovenfor er formulert for ladninger og strømmer i ellers tomt rom. De kan også brukes i et medium, forutsatt at ladningstettheten og strømtettheten inkluderer de bundne ladningene og strømmene i mediet, de som er bundet opp i dipoler. Det er imidlertid mer vanlig å bake disse inn i såkalt polariseringstetthet \(\mathbf P\) og magnetiseringstetthet \(\mathbf M\), og introdusere nye felt \( \mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P \) og \(\mathbf H = \mathbf B/\mu_0 – \mathbf M\). Da blir Maxwells ligninger:

  • \( \nabla\cdot\mathbf D = \rho \),
  • \( \nabla\cdot\mathbf B = 0 \),
  • \( \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \),
  • \( \nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial\mathbf D}{\partial t} \).

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Elektromagnetisme

Johannes Skaar
Professor, Universitetet i Oslo