Riemannova hypotéza

Riemannova hypotéza (tiež Riemannova zeta-hypotéza) je jeden z najslávnejších a najdôležitejších nevyriešených problémov súčasnej matematiky. Prvýkrát bola formulovaná nemeckým matematikom Bernhardom Riemannom v roku 1859. Dokázaním Riemannovej hypotézy by bolo vyriešené veľké množstvo hlbokých problémov z rôznych oblastí matematiky (najmä z teórie čísel), nielen preto bola v roku 2000 zaradená medzi 7 najdôležitejších nevyriešených matematických problémov nového tisícročia (tzv. problémy tisícročia).

Riemannova hypotéza je domnienka o rozložení koreňov tzv. Riemannovej zeta-funkcie definovanej v celej komplexnej rovine okrem bodu 1. Táto funkcia má niektoré zo svojich koreňov, tzv. triviálne nulové body, v párnych záporných celých číslach. Okrem týchto koreňov existujú ešte ďalšie, ktoré sa nazývajú netriviálne nulové body.

Riemannova hypotéza je tvrdenie:

Všetky netriviálne nulové body Riemannovej zeta-funkcie majú reálnu časť rovnú 1/2.

Čísla, ktorých reálna časť je rovná 1/2, tvoria v komplexnej rovine priamku, ktorá sa nazýva kritická priamka.

Najsilnejšími známymi čiastočnými riešeniami Riemannovej hypotézy sú rôzne verzie vety o kritickej priamke, ktoré hovoria, že na kritickej priamke sa vyskytuje "veľa" netriviálne nulových bodov.

Na Heidelberg Laureate Forum mal 24. septembra 2018 prednášku britský matematik Michael Atiyah, kde predstavil svoj dôkaz Riemannovej hypotézy. Prvotné reakcie sú skeptické.^[1]

V roku 1900 boli s matematickou istotou známe nasledujúce fakty o umiestnení netriviálnych nulových bodov v komplexnej rovine:

• Je ich nekonečne veľa a všetky majú reálnu časť medzi 0 a 1, pričom krajné body vylučujeme.

Ak použijeme komplexnú rovinu ku znázorneniu tejto situácie, môžeme povedať, že vieme, že všetky netriviálne nulové body ležia v kritickom páse. Riemannova hypotéza je však oveľa silnejšie tvrdenie - totiž že všetky ležia na kritickej priamke.

• Nulové body sa objavujú v komplexne združených dvojiciach.

Inými slovami, ak je ${\displaystyle z}$ nulový bod, je aj ${\displaystyle {\overline {z}}}$ nulový bod.

• Ich reálne časti sú symetrické podľa kritickej priamky.

Teda, ak existuje nejaký nulový bod mimo kritickú priamku, potom jeho zrkadlový obraz podľa kritickej priamky je tiež nulovým bodom.

• Riemannova zeta funkcia
• Veta o kritickej priamke
• Bernhard Riemann

• John Derbyshire, Posedlost prvočísly, (2007) Academia, - počet strán: 407.
• Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin Société Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.

• Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gross Archivované 2013-05-23 na Wayback Machine - pôvodný Riemannov článok, v ktorom formuluje Riemannovu hypotézu
• Prednáška 6th HLF – Lecture: Sir Michael Francis Atiyah
• Problem of the Millennium: the Riemann Hypothesis Archivované 2019-11-01 na Wayback Machine

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Riemannova hypotéza na českej Wikipédii.