Производная Ли

Производная Ли тензорного поля ${\displaystyle Q}$ по направлению векторного поля ${\displaystyle X}$ — главная линейная часть приращения тензорного поля ${\displaystyle Q}$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем ${\displaystyle X}$.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Q}$.

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

• Производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f}$ от скалярного поля ${\displaystyle f}$ есть производная ${\displaystyle f}$ по направлению ${\displaystyle X}$.

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf.}$

• Производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ от векторного поля ${\displaystyle Y}$ есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля ${\displaystyle Y}$ по направлению поля ${\displaystyle X}$).

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}$

• Для произвольных векторных полей и 1-формы ${\displaystyle \alpha }$ выполняется равенство (тождество Картана)

  ${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).}$

• (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).}$

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S+T)={\mathcal {L}}_{X}S+{\mathcal {L}}_{X}T}$ (линейность)

Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-мерное гладкое многообразие и ${\displaystyle X}$ — векторное поле на ${\displaystyle M}$.

Рассмотрим поток ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}\colon M\to M}$ по ${\displaystyle X}$, определяемый соотношениями

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X}^{0}(p)=p}$.

Обратное отображение к дифференциалу ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$,

${\displaystyle (d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p}}$

однозначно продолжается до гомоморфизма ${\displaystyle h_{t}}$ алгебры тензоров над ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}}$ в алгебру тензоров над ${\displaystyle T_{p}}$. Таким образом, произвольное тензорное поле ${\displaystyle Q}$ определяет однопараметрическое семейство полей ${\displaystyle Q_{t}=h_{t}(Q)}$. Производная Ли может быть определена как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,}$

где ${\displaystyle f}$ — скаляр.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{i},}$

где ${\displaystyle y}$ — вектор, а ${\displaystyle y^{i}}$ — его компоненты.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\xi ^{k},}$

где ${\displaystyle \omega }$ — 1-форма, а ${\displaystyle \omega _{i}}$ — её компоненты.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj}+\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik},}$

где ${\displaystyle g}$ — метрический тензор, а ${\displaystyle g_{ij}}$ — его компоненты.

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере ${\displaystyle \{e_{\alpha }\}}$, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}}$,

где ${\displaystyle (\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})}$ и введены следующие обозначения:

${\displaystyle \{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^{\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_{\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }}$,

${\displaystyle P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma }}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]}$ — объект неголономности.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$-линейно по ${\displaystyle X}$ и по ${\displaystyle s}$. Здесь ${\displaystyle s}$ — произвольное тензорное поле.
• Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
• На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
• Пусть ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ — векторные поля на многообразии, тогда ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u}-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}}$ есть дифференцирование алгебры ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, поэтому существует векторное поле ${\displaystyle [v,u]}$, для которого ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]}$. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
• Формула гомотопии (тождество Картана):

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .}$

Здесь ${\displaystyle \omega }$ — дифференциальная ${\displaystyle k}$-форма, ${\displaystyle i_{v}}$ — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как ${\displaystyle (i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1})}$.

• Как следствие, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)}$. Здесь ${\displaystyle s}$ — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения ${\displaystyle F}$ (например, любое тензорное поле), ${\displaystyle X^{F}}$ — поднятие векторного поля ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \mathop {vpr} _{F}}$ — оператор вертикального проектирования на ${\displaystyle F}$. (См. далее)

Пусть векторное поле ${\displaystyle V(x,t)}$ есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства ${\displaystyle x}$ в каждый момент времени ${\displaystyle t}$ определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля ${\displaystyle V(x,t)}$ переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей ${\displaystyle Q(x,t)}$ из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Пусть ${\displaystyle F}$ — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: ${\displaystyle F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M}$. Произвольное векторное поле ${\displaystyle X\in TM}$ порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов ${\displaystyle \Gamma ^{t}:M\to M}$, продолжающуюся с помощью ${\displaystyle F}$ на пространство расслоения ${\displaystyle F(M)}$, то есть ${\displaystyle F(\Gamma ^{t}):F(M)\to F(M)}$. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле ${\displaystyle X^{F}\in TF(M)}$, являющееся продолжением ${\displaystyle X}$. Группа ${\displaystyle F(\Gamma ^{t})}$ также позволяет определить производную Ли по ${\displaystyle X}$ от произвольных сечений ${\displaystyle s:M\to F(M)}$ по такой же формуле, как и в классическом случае:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^{*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ X-X^{F}\circ s}$

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения ${\displaystyle VF(M)}$, то есть ядра отображения ${\displaystyle T\pi _{M}:TF(M)\to TM}$, так как ${\displaystyle T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}}$. Если ${\displaystyle F}$ — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм ${\displaystyle vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)}$. Оператор вертикального проектирования ${\displaystyle vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1}}$ позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)}$

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид ${\displaystyle i_{K}}$, где ${\displaystyle K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)}$ — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования ${\displaystyle i_{K}}$ определяется по формуле ${\displaystyle (\omega \in \Lambda ^{p+1}(M))}$

${\displaystyle i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))}$

Здесь ${\displaystyle \mathrm {Alt} }$ — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме ${\displaystyle K}$ определяется через суперкоммутатор операторов:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]}$

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование ${\displaystyle D}$ супералгебры ${\displaystyle \Lambda ^{*}(M)}$ однозначно представимо в виде ${\displaystyle D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}}$, где ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle S}$ — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}}$ можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351. Архивная копия от 30 марта 2017 на Wayback Machine

• Поле Киллинга