Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ определяется с помощью предела:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции ${\displaystyle f}$, в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции ${\displaystyle f}$ с некоторым достаточно малым шагом ${\displaystyle h}$. Например, выражение

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

приближает производную функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ с точностью до величины, пропорциональной ${\displaystyle h}$. Использование выражения

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной ${\displaystyle h^{2}}$.

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

Если известны значения функции ${\displaystyle f}$ в некоторых узлах ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}}$, то можно построить интерполяционный полином ${\displaystyle P_{N}(x)}$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

${\displaystyle f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.}$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член ${\displaystyle R(x)}$, называемый погрешностью численного дифференцирования:

${\displaystyle f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.}$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина ${\displaystyle h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}}$ входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой ${\displaystyle ({r=1})}$ и второй ${\displaystyle ({r=2})}$ производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом ${\displaystyle {h>0}}$, полученных с использованием формулы Лагранжа:

• ${\displaystyle r=1,\;N=1}$ (два узла):

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=1,\;N=2}$ (три узла):

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''(\xi ),}$

${\displaystyle f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=2,\;N=2}$ (три узла):

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).}$

• ${\displaystyle r=2,\;N=3}$ (четыре узла):

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),}$

${\displaystyle f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).}$

Здесь ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,N}$, а ${\displaystyle \xi }$ — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом ${\displaystyle h}$ значения функции ${\displaystyle f}$ делятся на ${\displaystyle h^{r}}$, где ${\displaystyle r}$ — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом ${\displaystyle h}$ неустранимые погрешности в значениях функции ${\displaystyle f}$ оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага ${\displaystyle h}$, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при ${\displaystyle h\to {0}}$, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при ${\displaystyle h\to {0}}$. Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция ${\displaystyle f}$ является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом^[1]:

${\displaystyle f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

${\displaystyle f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}-ih^{3}{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .}$

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$

Интеграл можно вычислять приближённо.

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные метод��. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

• Разделенная разность
• Численное интегрирование

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.