Интеграл Дарбу
Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.
Определение
[править | править код]Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.
Пусть на отрезке определена функция вещественного переменного .
Разбиением отрезка будем называть конечное множество то��ек этого отрезка, включающего в себя точки и . [1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения обозначим за , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):
- .
Множество всех разбиений отрезка обозначим за .
Частичным отрезком разбиения назовём отрезок .
Длину частичного отрезка разбиения обозначим за .
Диаметром разбиения назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения .[2]
Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за и .
- ,
- .
Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется
Верхней суммой Дарбу называется
Тогда нижним интегралом Дарбу называется
Верхним интегралом Дарбу называется
Альтернативные определения
[править | править код]Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.
- Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.[5]
- Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.[6]
Свойства
[править | править код]Свойства сумм Дарбу
[править | править код]- При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.[7]
- Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.[4]
- При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.[7]
- — измельчение .
- Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.
- Пусть d — диаметр , измельчение — получено добавлением не более чем точек к , и — точные грани функции на отрезке . Тогда
- [5]
- Пусть — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками верно следующее неравенство:
- Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.[7] Пусть — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении . Тогда
- ,
- .
Свойства интегралов Дарбу
[править | править код]- Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен , для неограниченной снизу нижний интеграл равен .
- Для сумм и интегралов верны следующие неравенства
- Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.[5]
- и
- и
- Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.
- Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на ограниченной на этом отрезке функции равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.
- — интегрируема по Риману [10]
Вариации и обобщения
[править | править код]Кратный интеграл Дарбу
[править | править код]По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть — измеримое по Жордану множество, — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за .
За обозначим меру Жордана .
Множество всех разбиений будем обозначать .
Диаметр разбиения определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).
Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за и .
- ,
- .
Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется
Верхней суммой Дарбу называется
Тогда нижним интегралом Дарбу называется
Верхним интегралом Дарбу называется
Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.[13]
Примечания
[править | править код]- ↑ Ильин, 1985, с. 330.
- ↑ Ильин, 1985, с. 331.
- ↑ Архипов, 1999, с. 190.
- ↑ 1 2 Ильин, 1985, с. 337.
- ↑ 1 2 3 Ильин, 1985, с. 338.
- ↑ Архипов, 1999, с. 208.
- ↑ 1 2 3 Ильин, 1985, с. 336.
- ↑ Ильин, 1985, с. 335.
- ↑ 1 2 Архипов, 1999, с. 191.
- ↑ Кудрявцев, 2003, с. 553.
- ↑ Архипов, 1999, с. 559.
- ↑ Архипов, 1999, с. 548.
- ↑ Архипов, 1999, с. 550.
Литература
[править | править код]- Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
- Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных . — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.