Darbu sumos

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos, naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas, kurio apibrėžimas lengvai išplečiamas iki Rymano-Stieltjeso integralo.^[1] Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

Tegul funkcija ${\displaystyle f(x)}$ apibrėžta intervale ${\displaystyle [a;b]}$. Šis intervalas suskaidomas tokiu būdu:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

Gautų intervalų ilgiai žymimi ${\displaystyle \delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$. Jų iš viso yra ${\displaystyle n}$. Ilgiausio gabaliuko ilgis žymimas ${\displaystyle \Delta }$.

Toks intervalo skaidinys vadinamas ${\displaystyle T}$. Apibrėžiami tokie taškai:

${\displaystyle m_{i}=\inf _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$

T. y., kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandama mažiausia funkcijos reikšmė. Sudaroma tokia suma:

${\displaystyle s(T)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$.

Ši suma ir vadinama apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio ${\displaystyle T}$ funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidomas intervalas ${\displaystyle [a;b]}$. Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidomas intervalas, t. y. nuo ${\displaystyle T}$.

Viršutinė Darbu sumą apibrėžiama labai panašiai. Intervalas ${\displaystyle [a;b]}$ skaidomas tokiu pat būdu ir pasirenkami tokie taškai:

${\displaystyle M_{i}=\sup _{[x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudaroma suma

${\displaystyle S(T)=\sum _{mn=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$.

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo ${\displaystyle T}$. Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\displaystyle S(T_{1})\geq s(T_{2})\;\forall T_{1},T_{2}}$, t. y., kad ir kaip bebūtų skaidomas intervalas, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
• Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

${\displaystyle {\underline {I}}=\sup _{T}s(T)}$ – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.

${\displaystyle {\overline {I}}=\inf _{T}S(T)}$ – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

• ${\displaystyle {\underline {I}}\leq {\overline {I}}}$
• ${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}s(T)={\underline {I}}}$ ir ${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow 0}S(T)={\overline {I}}}$, t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.

• Darboux Integral