Teorema lui Cantor

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.

Teorema lui Cantor este o teoremă matematică privind teoria mulțimilor.

Fie A o mulțime nevidă și ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci cardinalul lui A este strict mai mic decât cardinalul lui ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$

Fie funcția oarecare care pune în corespondență o mulțime A cu mulțimea submulțimilor P(A) a acestei mulțimi A:

f: A → ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$

Demonstrarea acestei teoreme este echivalentă cu a demonstra enunțul: f nu poate fi surjectivă. Pentru aceasta e suficient a determina o submulțime a lui A care să nu fie imaginea lui f.

Considerăm mulțimea

${\displaystyle B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\}.}$

Pentru a arăta că B nu este imaginea lui f, să presupunem prin absurd că B este imaginea lui f. Atunci pentru un ${\displaystyle x\in A}$ avem ${\displaystyle f(x)=B}$. Avem cazurile:

• ${\displaystyle x\in B}$ :

atunci ${\displaystyle x\not \in f(x)}$ deci ${\displaystyle x\not \in B}$

• ${\displaystyle x\not \in B}$

atunci ${\displaystyle x\in f(x)}$ deci ${\displaystyle x\in B}$

În ambele cazuri se obține o contradicție. Aceasta dovedește că B nu este imaginea lui f, deci f nu este surjectivă.

Deci mulțimile A și ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)}$ nu sunt echipotente.

• en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
• en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

• Mulțime
• Cardinal (matematică)

• en Teorema lui Cantor la MathWorld^{[nefuncțională]}