Cantorteoremet

Cantorteoremet er eit teorem i matematikken som seier at ein kvar mengd ${\displaystyle A}$ har strengt mindre kardinalitet enn potensmengden ${\displaystyle 2^{A}}$ til ${\displaystyle A}$.

Anta at det finst ein bijeksjon ${\displaystyle f:A\to 2^{A}}$. For kvar ${\displaystyle a\in A}$ er det to moglegheitar. Me har anten ${\displaystyle a\in f(a)}$ eller ${\displaystyle a\not \in f(a)}$. La ${\displaystyle X=\{a\in A\mid a\not \in f(a)\}}$. ${\displaystyle X}$ er ein delmengd av ${\displaystyle A}$ og dermed ${\displaystyle X\in 2^{A}}$. Men sidan ${\displaystyle f}$ er ein bijeksjon, så finst det ein ${\displaystyle x\in A}$ slik at ${\displaystyle f(x)=X}$. Viss ${\displaystyle x\in f(x)}$, får me frå definisjonen av ${\displaystyle X}$ at ${\displaystyle x\not \in f(x)}$ og dette er ein sjølvmotseiing. Viss derimot ${\displaystyle x\not \in f(x)}$ får me igjen frå definisjonen av ${\displaystyle X}$ at ${\displaystyle x\in f(x)}$ og dette er ein sjølvmotseiing. Det kan derfor ikkje eksistera ein bijeksjon ${\displaystyle f}$. Derimot finst det ein injeksjon ${\displaystyle g:A\to 2^{A}}$ gitt ved ${\displaystyle g(a)=\{a\}}$. Dette viser at ${\displaystyle A}$ har strengt mindre kardinalitet enn ${\displaystyle 2^{A}}$.

Denne matteartikkelen er ei spire. Du kan hjelpe Nynorsk Wikipedia gjennom å utvide han.