Rotație Givens

În algebra liniară numerică, o rotație Givens este o rotație în planul generat de două axe de coordonate. Rotațiile Givens au fost denumite după Wallace Givens care le-a prezentat specialiștilor în analiza numerică în anii 1950 în timp ce lucra la Laboratorul Național Argonne.

O rotație Givens este reprezentată de o matrice de forma

${\displaystyle G(i,k,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

unde c = cos(θ) și s = sin(θ) apar la intersecțiile rândurilor și coloanelor i și k. Adică o matrice de rotație Givens este o matrice identitate cu următoarele substituții:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{i\,i}&{}=c\\g_{k\,k}&{}=c\\g_{i\,k}&{}=s\\g_{k\,i}&{}=-s\end{aligned}}}$

Produsul G(i,k,θ)^Tx reprezintă o rotație în sens trigonometric a vectorului x din planul (i,k) cu θ radiani.

Principala utilizare a rotațiilor Givens în algebra liniară numerică este de a introduce zerouri în vectori sau matrici. Acest efect poate fi, de exemplu, folosit la calcularea descompunerii QR a unei matrice. Un avantaj față de transformările Householder este că pot fi ușor paralelizate, iar altul este că adesea pentru matrice foarte rare implică un număr mai mic de operații.

Când o rotație Givens dată, G(i,k,θ), este înmulțită cu altă matrice, A, la stânga, GA, doar rândurile i și k din A sunt afectate. Astfel, atenția se restrânge asupra următoarei probleme: date fiind a și b, să se găsească c = cos θ și s = sin θ astfel încât

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\\0\end{bmatrix}}.}$

Calculul explicit al lui θ nu este de regulă nici necesar, nici de dorit. În schimb, se caută direct c, s, și r. O soluție simplă ar fi

${\displaystyle {\begin{aligned}r&{}\leftarrow {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\c&{}\leftarrow a/r\\s&{}\leftarrow b/r\end{aligned}}}$

• Golub, Gene H. (1996). Matrix Computations (ed. 3/e). Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Anderson, Edward. (2000) Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem. LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, 4 decembrie 2000.
• D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, 31 ianuarie 2001.