Rotação de Givens

Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. Ajude a melhorar este artigo inserindo citações no corpo do artigo. (Setembro de 2021)

Em álgebra linear numérica, uma rotação de Givens é uma rotação no plano gerado por dois eixos de coordenadas. As rotações de Givens foram nomeadas em homenagem à Wallace Givens, que apresentou a técnica aos analistas numéricos na década de 1950, enquanto trabalhava no Argonne National Laboratory.

Uma rotação de Givens é representada por uma matriz da forma

$${\displaystyle G(i,j,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$$

onde c = cos θ e s = sen θ aparecem nas interseções das i-ésima e j-ésima linhas e colunas. Isto é, os elementos não-nulos da matriz de Givens são dados por: $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{k\,k}&{}=1\qquad {\text{para}}\ k\neq i,\,j\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{j\,i}&{}=-s\\g_{i\,j}&{}=s\qquad {\text{para}}\ i>j\end{aligned}}}$$ Note que o sinal dos senos muda quando j > i.

O produto G(i, j, θ)x representa a rotação no sentido anti-horário do vector x no plano (i, j) de θ radianos, por isso o nome de rotação de Givens.

O principal uso das rotações de Givens na álgebra linear numérica é para introduzir zeros em vetores e matrizes. Esse efeito pode, por exemplo, ser usado no cálculo da decomposição QR de uma matriz. Uma vantagem sobre as transformações de Householder é que elas podem ser paralelizadas facilmente, e outra é que frequentemente, para matrizes bastante esparsas elas exigem uma quantidade pequena de operações.

Referências

• Anderson, Edward (2000), Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem . LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
• D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.
• Cybenko, George (Março–Abril 2001), «Reducing Quantum Computations to Elementary Unitary Operations» (PDF), Computing in Science and Engineering, 3 (2): 27–32, doi:10.1109/5992.908999 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, ISBN 978-0-8018-5414-9 3rd ed. , Johns Hopkins .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 11.3.1. Givens Method», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press