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Polo (análise complexa)

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O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo no ponto .

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a.[1]

Formalmente, suponha que é um subconjunto aberto do plano complexo , é um elemento de e é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa e um inteiro não negativo tal que

para todo em , então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica (em ) é chamada a parte regular de . Então, o ponto a é um polo de ordem n de se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Referências

  1. Ahlfors 1979, p. 127.

Ligações externas

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